Содержание
Введение
. Понятие функции двух переменных
. Предел и непрерывность функции двух переменных
. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
. Частные производные высших порядков
. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
. Условный экстремум
Заключение
Список литературы
предел функция производная дифференциал экстремум
Введение
Явления, происходящие в общественной жизни, природе, экономике, не всегда можно описать с помощью функции всего лишь одной переменной.
Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Понятие функции нескольких переменных появилось именно для изучения такого рода зависимостей.
В наше время наука неумолимо быстро развивается, и для ее развития требуются все более сложные решения тех или иных вопросов. Поэтому для роста научно технического прогресса и усложнения экономических процессов требуются новые привлечения математических процессов.
В данной работе рассмотрим функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Понятие функции двух переменных
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.
В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Пусть 
- множество упорядоченных пар действительных чисел 
.
Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел 
по некоторому закону 
поставлено в соответствие единственное действительное число 
, то говорят, что задана функция двух переменных 
или 
. Числа 
называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число - зависимой переменной.
Например, формула 
, выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: 
- радиуса основания и 
- высоты.
Пару чисел иногда называют точкой 
, а функцию двух переменных - функцией точки 
.
Значение функции в точке 
обозначают 
или 
и называют частным значением функции двух переменных.
Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.
Например, область определения функции 
- вся плоскость, а функции 
- единичный круг с центром в начале координат (
или 
.
Предел и непрерывность функции двух переменных
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.
Пусть - произвольная точка плоскости. 
- окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству 
. Другими словами, - окрестность точки 
- это все внутренние точки круга с центром в точке 
и радиусом .
Определение 2. Число 
называется пределом функции при 
(или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа 
существует 
(зависящее от 
) такое, что для всех 
и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство 
.
Обозначается предел следующим образом:
или 
.
Пример 1. Найти предел 
.
Решение. Введем обозначение 
, откуда 
. При 
имеем, что 
. Тогда
.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) 
определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел 
; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. 
.
Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция 
имеет две линии разрыва: ось 
(
) и ось 
(
).
Пример 2. Найти точки разрыва функции 
.
Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где 
или 
. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 
. Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .