Комплексные числа.
Выполненные задания присылать на почту alla.kurbatova2014@yandex.ru
Понятие комплексного числа.
Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i 2= –1.
Если х = 0, то число 0 +iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i 0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RÌС.
Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х= Rе z, а у – мнимой частью z, у =Im z.
Два комплексных числа z 1= x 1 +iy 1 z 2= x 2 +iy 2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
|
|
|
|
|
Всякое комплексное число можно изобразить точкой М (х, у) плоскости Оху такой, что х= Rе z, у =Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора 
= 
. Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается 
или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или 
. Аргумент комплексного числа z =0 не определён. Аргумент комплексного числа z 
0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 
(k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке 
, т.е. 
< аrg z £ 
(иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка 
).
Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде 
называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем 
, 
. Следовательно, комплексное число можно записать в виде 
или 
. Такая запись называется тригонометрической формой.
Модуль 
однозначно определяется по формуле 
. Например, 
. Аргумент определяется из формул
, 
, 
Так как 
, то 
, 
.
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать 
.
Так как < аrg z £ , то из формулы получаем, что
Используя формулу Эйлера 
, комплексное число 
можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме 
, где 
– модуль комплексного числа, а угол .
В силу формулы Эйлера функция 
– периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .
Пример 1: Записать комплексные числа z 1 = –1+ i и z 2 = –1в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для числа z 1 имеем:
, т.е. 
.
Поэтому 
Для z 2 имеем 
т.е. 
.
Поэтому 
.
Действия над комплексными числами.
Суммой двух комплексных чисел z 1 и z 2 у z1+z2
называется комплексное число, определяемое z 2
равенством 
. z 1
O x
|
. Это соответствие называют неравенством треугольника.
|
|
|
Разностью двух комплексных чисел z 1 и z 2называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z 2, даёт число z 1, т.е. z = z 1 – z 2, если 
.
.
Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что 
.
Отметим, что 
, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство 
определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки 
, т.е. окружность с центром в и радиусом 1.
Произведением комплексных чисел z 1= x 1 +iy 1 и z 2= x 2 +iy 2 называется комплексное число, определяемое равенством:
Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x 1 +iy 1 и x 2 +iy 2, учитывая, что i 2= –1.
Например, (2–3 i)(–5+4 i)= –10+8 i +15 i –12 i 2 = –10+23 i +12=2+23 i.
Заметим, что 
– действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: 
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности
– формула Муавра.
Пример 2: Найти 
Решение: Запишем сначала число 
в тригонометрической форме:
; 
По формуле Муавра имеем
Частным двух комплексных чисел z 1и z 2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z 2, даёт число z 1, т.е. 
, если 
.
Если положить 
, 
, , то из равенства 
следует
Решая систему, найдём значения х и у:
.
На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 3: Выполнить деление 
Решение: 
Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: 
,
т.е. 
.
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число 
, удовлетворяющее равенству 
.
Если положить 
, а 
, то по определению корня и формуле Муавра, получаем
.
Отсюда имеем 
Т.е. 
(арифметический корень).
Поэтому корень п -ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
, 
Точки, соответствующие значениям 
, являются вершинами правильного п -угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения 
.
Решение: Запишем комплексное число 
в тригонометрической форме.
.
.
Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием 
?
|
Решение: Комплексное число 
изображается вектором, началом которого является точка 
, а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть 
, и он меняется в пределах от 
до 
.
|
|
Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки 
и образующими с осью ОХ углы в и 
рад.