Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Равномерное и показательное распределения НСВ: функция распределения, плотность, основные параметры распределения, числовые характеристики, вероятность попадания на интервал.

		M(X)	D(X)	σ(X)
Равномерный					Ошибка округления до ближайшего целого деления. Время ожидания транспорта с постоянным интервалом движения.

y

b

y =F(x)

x

Рис. 2.11. Функция распределения F(x) равномерной случайной величины

а

x

а

b

c

f(x)

Рис.2.10. Плотность вероятности f(x) равномерной случайной величины

x

F(x)

y = f(x)

 

Постоянная , т. к. по свойству плотности вероятности площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [a, b], должна быть равна 1.

График изображен на рис. 2.11.

		M(X)	D(X)	σ(X)
Показательный закон					Время безотказной работы прибора; продолжительность телефонного разговора

 

т.к >0, =>, . График изображен на рис. 2.12.

2.13. Функция распределенияпоказ.закона

2.12. Плотностьпоказательного закона

 

 

.

 

11. Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной с параметрами , если её плотность вероятности задается формулой:

Функция распределения F(x) нормальной случайной величины

Теорема. Если непрерывная случайная величина Х нормально распределена c плотностью вероятности, то её числовые характеристики равны:

.

Для нормально распределенной случайной величины Х имеют место следующие свойства.

Свойство 1. Для нормально распределенной случайной величины с параметрами вероятность попадания на промежуток вычисляется по формуле:

Доказательство. По свойству плотности вероятности, свойству интеграла и равенству (2.11) имеем:

Ч.т.д

Свойство 2. Для нормально распределенной случайной величины Х с параметрами вероятность отклонения Х от своего среднего значения а меньше, чем на , вычисляется по формуле

.

Доказательство. Используя равенство (2.12)и нечетность функции Лапласа, получаем требуемое:

Свойство 3. Правило трех сигма. Все значения нормально распределенной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале , т. е.

Доказательство:

Свойство 4. Пусть – независимые нормальные случайные величины с параметрами . Тогда случайная величина также нормально распределена и

 

12) Распределение χ² Пирсона, F- распределение Фишера, t- распределение Стьюдента; основные параметры этих распределений, графики.

Распределение Пирсона (xu – квадрат)

где ~

;

Распределение Стьюдента (t - распределение)

, где ~

;

Распределение Фишера-Снедекора (F – распределение)

;

 

Неравенства Маркова и Чебышева, лемма о среднем арифметическом случ.величин.

Неравенство Маркова: Если Х – неотрицательная НСВ (), тогда справедливо неравенство .

 

Неравенство Чебышева: Пусть Х – СВ с числовыми характеристиками и , тогда справедливо неравенство .

О среднем арифметическом: Если независимые однотипные CВ с математическим ожиданием а и дисперсией D, тогда справедливо неравенство

.

 

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Закон больших чисел: Если независимые однотипные CВ с математическим ожиданием а, тогда

.

Центральная предельная теорема – это группа теорем об условиях, при которых возникает нормальный закон распределения.

При изучении нормального закона была сформулирована теорема: если – независимые нормальные случайные величины с одними и теми же параметрами и , то их сумма также нормальна и имеет параметры и . Кроме того, справедливо равенстводля любого сколь угодно малого числа . Это равенство практически точно уже при .

 

Ф

 

Это утверждение называется центральной предельной теоремой и кратко формулируется так: сумма большого числа независимых однотипных случайных величин с любым законом распределения приближенно нормальна.

теорема Ляпунова: если случайные величины независимы и никакая из них не доминирует над другими, то при достаточно большом числе слагаемых их сумма приближенно нормальна.

-незав. СВ

MX=a, DX=σ² ;
15. Двумерная СВ-упорядоченная пара СВ (Х;Y)

Коэффициентом корреляции случайной величины (Х,Y) называется число , равное:

Ковариацией (корреляционным моментом) случайной величины (Х,Y) называется число , равное: .

Числовыми хар-ми двумерной СВ (Х;Y) считают числхар-кикаждой из ее компонент, а также числхар-ки, определяющие тесноту связи между компонентами ковариация, коэф-т корреляции.

16. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Вариационный ряд- ранжированная(упорядоченная) по возраст или убыв выборка.

Статистический ряд- двойной ряд чисел, указывающий каким образом знач-я признака(вер-ти) связаны с их повторяемостью(частотами) в выбранной стат совок-ти.

17. Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкцияраспределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Функция , определяющая для каждого значения х относительную частоту события , называется эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки.

18. Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки , называется полигоном относительных частот.

Полигон относительных частот для распределения показа

Рис. 3.3. Гистограмма частот

x

н на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Полигон относительных частот

0,1

0,2

0,3

х

 

 

Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной и высотами (плотность частоты), называется гистограммой частот. (рис. 3.3)

 

19. Несмещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке:

(3.6)

Смещенной называется оценка, при которой условие (3.6) не выполняется.

Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п.

Состоятельной называется статистическая оценка типа (3.4), которая при стремится к оцениваемому параметру.

(3.4)

20. виды числовых характеристик оценок:

выборочная средняя

Если значения признака в выборке имеют соответственно частоты , то последнюю формулу можно переписать в виде

(3.7)

Выборочная средняя (3.7) является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины, т. е.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение количественного признака Х от своего среднего значения. Одной из них является исправленная выборочная дисперсия

(3.8)

Исправленная выборочная дисперсия (3.8) является состоятельной несмещенной оценкой дисперсии случайной величины, т.е. Если в формуле (3.8) знаменатель заменить на , то оценка останется состоятельной, но будет смещенной, т.е.

В случае, когда математическое ожидание признака Х известно: , в качестве состоятельной несмещенной оценки для дисперсии можно использовать выборочную дисперсию

(3.9)

Аналогично вводятся оценки для среднего квадратического отклонения: