1. Неравенства вида 
.
Это неравенство имеет решение только при условии 
.
Используя определение понятия модуля заменим данное неравенство равносильной ему системе неравенств:
Примеры.
1.1 Решить неравенство 
Решение.
По определению модуля получаем систему неравенств: 
откуда следует, что 
.
Ответ: (-2; 6).
1.2. Решить неравенство.
Решение
По определению модуля неравенство равносильно системе неравенств:
Решив каждое неравенство системы, получаем:
 |
Воспользовавшись геометрической интерпретацией решений неравенств, выберем решение системы:
Ответ: (1; 2) È (3; 4).
2. Неравенства вида 
Это неравенство при 
выполняется во всей области определения функции 
.
Если 
, то по определению модуля данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
Примеры.
2.1. Решить неравенство 
.
Решение.
По определению модуля данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
Ответ: (-¥; -1); (6; ¥).
2.2. Решить неравенство 
.
Решение.
По определению модуля неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) 
| 2) 
|
Ответ: 
<1, 2< <3, >4.
3. Неравенства вида 
и 
По определению понятия модуля каждое из данных неравенств равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) 
2) 
Примеры.
3.1. Решить неравенство 
Решение.
По определению модуля данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
А) 
| Б) 
|
Ответ: (-7; 0) È [0; 7).
3.2. Решить неравенство 
Решение.
Область определения данного неравенства 
. Т.к. в области определения 
, то данное неравенство равносильно неравенству:
,
используя определение модуля, заменяем данное неравенство совокупностью систем неравенств:
Ответ: (-1; 0) È (0; 1).
Примечание.
Полученное в ходе преобразований 
, можно решить как неравенство типа 
.
4. Неравенство вида 
По определению модуля неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
Примеры.
4.1. Решить неравенство 
.
Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) 
2) 
| 3) 
4) 
|
Ответ: 
4.2. Решить неравенство: 
.
Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) 
 и 
| 2) 
|
Ответ: [-2; 2] È {3}.
5. Неравенства вида 
.
Такие неравенства решаются по алгоритму, аналогичному алгоритму решению соответствующих уравнений:
1) Найти значения х, при переходе через которые меняется знак выражений 
, 
,..., 
, т.е. решить совокупность уравнений 
, 
,..., 
и найти корни этих уравнений 
, 
,..., 
.
2) Отметить найденные значения , ,..., на числовой прямой (пусть для определенности < <...< ).
3) Рассмотреть данное неравенство последовательно на промежутках 
; 
;...; 
, решить полученную совокупность неравенств и в ответ отобрать те промежутки или значения , которые содержатся в соответствующих промежутках.
Примечание. Аналогично решаются и неравенства, содержащие под знаком модуля нелинейные зависимости.
Примеры.
5.1. Решить неравенство 
Решение.
1) Найдем значения х, при переходе через которые меняются знаки выражений 
, 
, 
:
2) Отметим найденные значения на числовой прямой:
3) Рассмотрим данное неравенство на четырех образовавшихся промежутках и отберем соответствующие решения, т.е. решим совокупность четырех систем неравенств:
а) 
б) 
в) 
г) 
. Ответ: