Определенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном семинаре мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах.
В общем виде определенный интеграл записывается так:
Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Отрезок 
называется отрезком интегрирования.
Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, вспомните
Что такое определенный интеграл?
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть.
. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию 
(неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа 
в определенном интеграле не добавляется. Обозначение 
является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись 
? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: 
.
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: 
.
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность 
, то есть, находим число.
Готово.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например, интеграла 
не существует, поскольку отрезок интегрирования 
не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: 
. Здесь на отрезке интегрирования 
тангенс терпит бесконечные разрывы в точках 
, 
, и поэтому такого определённого интеграла тоже не существует. Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования
???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень!
Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен интеграл вроде или , то нужно дать ответ, что данного определённого интеграла не существует и обосновать – почему.
! Примечание: в последнем случае слово «определённого» опускать нельзя, т.к. интеграл с точечными разрывами разбивается на несколько, в данном случае на 3 несобственных интеграла, и формулировка «данного интеграла не существует» становится некорректной.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл..
Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.
– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:
Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:
– в таком виде интегрировать значительно удобнее.
Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:
– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.
В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.
Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы 
. Появившуюся константу 
целесообразно отделить от 
и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница 
. Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2
Вычислить определенный интеграл
Это пример для самостоятельно решения..
Немного усложняем задачу:
Пример 3
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: 
–, очень часто машинально пишут 
(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.
Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например,
.
Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, лучше использовать первый способ. Однако несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная 
находится в одной скобке.