Многократное выделение квазистатики в случае разрывных производных по времени от внешних сил

В предыдущем параграфе при многократном выделении квазистатической составляющей были наложены достаточно жесткие ограничения на степень гладкости функции , характеризующей изменение нагрузки во времени и ее поведения в окрестности нуля.

Здесь рассмотрен общий случай, когда первые 2 n производные функции имеют разрывы первого рода (конечные скачки) в некоторой точке .

Пусть внешняя нагрузка, как и в разделе 1, представима в виде

(11.3.1)

Обозначим скачки 2 n первых производных функции в точке через k= 1,2,…,2 n

(11.3.2)

Знаками "-" и "+" здесь помечены значения производных слева и справа от точки .

Важным этапом для последующего решения задачи является представление производных функций в виде суммы непрерывных и разрывных составляющих, выражающихся через функцию Хевисайда и дельта-функцию , умноженные на величины скачков производных (11.3.2)

Тогда первая производная запишется так

,

(11.3.3)

где – непрерывная составляющая первой производной.

Вторую производную с учетом (11.3.3) и правила дифференцирования функции Хевисайда представим в следующем виде

(11.3.4)

где является непрерывной составляющей второй производной.

В целом, если 2 n производные функции имеют разрывы первого рода в точке , равные (k =1, 2, …, 2 n), то их непрерывные составляющие определяются по следующей схеме (в точке функции доопределяются равными своим пределам слева и справа)

, ………………………..

(11.3.5)

Переходим к выделению квазистатической составляющей. При разрывных производных внешнего воздействия, в отличие от предыдущего параграфа, удобнее проводить анализ решения путем последовательного выделения квазистатики.

Итак, будем отыскивать решение задачи в виде (11.1.10) раздела 1. Тогда с учетом (11.3.4) для нахождения динамической составляющей первого порядка приходим к следующему уравнению

(11.3.6)

Представим функцию в виде суперпозиции двух слагаемых

.

(11.3.7)

Здесь реакция системы на непрерывную составляющую внешнего воздействия, которая определяется из уравнения

(11.3.8)

Функция характеризует реакцию системы на импульсное и ступенчатое воздействие, определяемое дельта-функцией и функцией Хевисайда,

(11.3.9)

Полученная задача является типовой и будет рассмотрена ниже.

Остановимся теперь на уравнении (11.3.8). Решение уравнения (11.3.8) снова будем отыскивать, выделяя квазистатическую составляющую. При этом функцию в правой части уравнения (11.3.8) можно трактовать как функцию , характеризующую распределение внешней силы по координате, а функцию как функцию , характеризующую изменение внешней силы во времени.

Тогда по аналогии с (11.1.10) раздела 1 решение уравнения (11.3.8) можно искать в виде

(11.3.10)

Подставляя представление для из (11.3.10) в уравнение (11.3.8), будем иметь

(11.3.11)

Определим функцию таким образом, чтобы выражение, стоящее в скобках в правой части (11.3.11), обращалось в нуль

.

(11.3.12)

Тогда динамическая составляющая второго порядка будет определяться из следующего уравнения

(11.3.13)

Представив вторую производную функции в виде непрерывных и разрывных составляющих по аналогии с (11.3.4), получим следующее уравнение для функций

(11.3.14)

Здесь и - скачки третьей и четвертой производных (11.3.2), - непрерывная составляющая четвертой производной (11.3.5) функции .

По аналогии с (11.3.7) представим решение в виде суперпозиции двух функций

,

(11.3.15)

где функции и определяются из решения следующих уравнений

	(11.3.16)
	(11.3.17)

К уравнению (11.3.16) можно снова применить процедуру выделения квазистатической составляющей, отыскивая решение уравнения (11.3.16) в виде

(11.3.18)

Повторяя указанную процедуру n -1 раз, будем иметь

	(11.3.19)
где .	(11.3.20)

Функция , динамическая составляющая n –го порядка, будет удовлетворять следующему уравнению

(11.3.21)

Производные первого и второго порядка от функции q _{2( n -1)} запишем в виде непрерывных и разрывных составляющих

	(11.3.22)

представим функцию в виде суперпозиции двух составляющих – от непрерывной правой части и разрывной

(11.3.23)

Для определения указанных функций будем иметь следующие уравнения

	(11.3.24)
	(11.3.25)

Остановимся теперь на решении каждого из полученных в результате последовательного выделения квазистатической составляющей уравнений с непрерывной правой частью.

В правую часть каждого из уравнений входит в виде множителя функция , получаемая из рекуррентной последовательности квазистатических уравнений, описанных в разделе 2.6.1.

Решение уравнения типа (11.3.24) с непрерывной правой частью также было рассмотрено в предыдущем разделе и записывается следующим образом

	(11.3.26)
где

Как видно из (11.3.26), сходимость динамической составляющей n -го порядка от непрерывных правых частей после n кратного выделения квазистатики не ниже .

Остановимся теперь на решении динамических задач с правыми частями в виде дельта-функций и функций Хевисайда (11.3.9), (11.3.17), (11.3.25). Отыскивая решение уравнения (11.3.25) в виде разложения по собственным формам колебаний

(11.3.27)

и, учитывая выражение для коэффициентов Фурье (11.2.23), получим следующее уравнение для обобщенных координат

(11.3.28)

В правой части уравнения (11.3.28) в знаменателе стоит , поэтому решение этого уравнения назовем реакцией на импульс и ступеньку n -го порядка.

При нулевых начальных данных решение уравнения (11.3.28) имеет вид

.

(11.3.29)

Подставив значения обобщенных координат (11.3.29) в (11.3.27), получим реакцию системы на импульс и ступеньку n -го порядка.

Проделанную в этом разделе процедуру последовательного выделения квазистатики и реакций системы на импульсы и ступеньки, соответствующие разрывам производных функций внешнего воздействия по времени, можно представить в виде следующей схемы (рис.2.1).

Рис. 2.1.

Здесь двойными сплошными стрелками указаны очередные этапы выделения квазистатических составляющих , а внизу под ними – множители с которыми они входят в суммарную функцию перемещения . Штриховыми стрелками отмечены этапы выделения реакций на импульсные и ступенчатые внешние воздействия соответствующего порядка .

Результирующее решение после n кратного выделения квазистатики и реакций системы на импульсы и ступеньки запишется так

.

(11.3.30)

Подставив в (11.3.30) значения функций и из (11.3.26), (11.3.27), получим следующее окончательное выражение для перемещения с учетом n ‑кратного выделения квазистатики в случае разрывных производных по времени функции внешнего воздействия.

(11.3.31)

Из выражения (11.3.31) видно, что разрыв нечетных производных функций вызывает реакцию системы, аналогичную той, которая возникает от импульсного воздействия. При этом в случае разрыва (2n–1)-ой производной со скачком сходимость решения не ниже . Разрыв четных производных функций вызывает реакцию, аналогичную возникающей при ступенчатом воздействии n -го порядка. При разрыве 2n-ой производной со скачкам сходимость решения будет не ниже .

Таким образом, в представлении (11.3.31) квазистатическая составляющая (первое слагаемое) определяет разрывы и особенности динамической задачи в координатной области, тогда как третье слагаемое характеризует особенности решения типа реакций системы на импульсные и ступенчатые воздействия, обусловленные разрывом производных внешних сил во временной области. Выделение указанных составляющих из динамической задачи улучшает сходимость остающейся части решения (второго слагаемого) по формам собственных колебаний.