Термодинамических величин в процессах

Таблица №1

Задание состава смеси	Перевод из одного состава в другой	Кажущаяся молекулярная масса смеси	Газовая постоянная смеси
массовые доли mi=Mi/Mсм
объемные доли ri=Vi/Vсм

Теплоемкость - это количество тепла, необходимое для изменения температуры единицы количества вещества на один градус. Различают массовую С (Дж/кг·К), объемную С' (Дж/м³·К) и молярную (Дж/кмоль·К) теплоемкости. Теплоемкость газа зависит от температуры. По этому признаку различают среднюю С_т и истинную С теплоемкости. Если q - количество тепла, подведенного (отведенного) к единице количества вещества при изменении его температуры от t₁ до t₂, то величина
C_m = q/(t₁-t₂) представляет собой среднюю теплоемкость в пределах температур от t₁ до t₂. Предел этого отношения, когда разность температур стремится к нулю, называют истинной теплоемкостью С = q/dt. Для газов важное значение имеют теплоемкости в процессах изохорическом (C_vm) и изобарическом (С_рт) которые связаны между собой законом Майера С_рт- C_vm=R.

Для вычисления средних теплоемкостей в диапазоне температур от t₁ до t₂ пользуются формулой:

 

(2)

где - средняя теплоемкость газа в интервале температур от 0°С до t°C, она может быть мольной, объемной или массовой как при постоянном давлении так и при постоянном объеме. Средняя массовая теплоемкость смеси определяется:

(3)

где - средняя массовая теплоемкость i -ro компонента (табл.8, 9), п - число компонентов в смеси.

Таблица №2

Соотношения между параметрами состояния, расчетные и проверочные зависимости

термодинамических величин в процессах

 

Наимено-вание процесса	Уравнение процесса	Показатель политропы	Связь между параметрами	Термодина-мическая работа	Потенциальная работа	Теплоем-кость процесса	Количество тепла	Изменение энтропии
Политроп-ный	PVn = idem
Изобарный	P = idem	n = 0				Сpm
Изохорный	V = idem	n =±∞	V1=V2			Cvm
Изотерми-ческий	PV=idem	n=1	T1=T2			∞
Адиабатный	PVk=idem	n=k=				0

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. Выражение 1-го начала термодинамики для конечного изменения состояния 1 кг газа имеет вид:

(4)

Количество тепла , термодинамическая работа , потенциальная работа являются функциямипроцесса, формулы для расчета этих величин представлены в табл.2.

Внутренняя энергия u, энтальпия h являются функциями состояния, т.е. изменение этих величин не зависит от пути процесса и определяется по формулам:

(5)

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ. Основными процессами, которые изучаются в термодинамике, являются изохорический (V= idem), изобарический (Р=idem), изотермический (Т=idem) и адиабатный (PV^k=idem). Перечисленные процессы - частный случаи обобщающего процесса, который называется политропным и описывается уравнением PVⁿ=idem, где п- показатель политропы, который может иметь любые значения от - ∞ до + ∞. Зависимость между параметрами состояния в политропном процессе и его частных случаях, а также расчетные и проверочные зависимости термодинамических величин приведены в табл. 2.

 

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ определяет направление, в котором протекают процессы, устанавливает условия преобразования тепловой энергии в другие виды, и для обратимых процессов имеет вид:

dS = q/T или q = T·dS (6)

В технической термодинамике приходится иметь дело не с абсолютным значением энтропии, а с её изменением .

Изменение энтропии S между двумя произвольными точками политропного процесса и его частных случаев определяется по формулам табл. 2.

 

КРУГОВОЙ ПРОЦЕСС или цикл - это совокупность термодинамических процессов, в результате осуществления которых рабочее тело возвращается в исходное состояние. Степень совершенства цикла характеризуется термическими КПД:

(7)

Первый закон термодинамики для цикла:

(8)

Внутренняя энергия, энтальпия, энтропия являются функциями состояния, поэтому в круговых процессах изменение этих величин равно нулю.

Следовательно, выражение (8) примет вид

где - работа цикла, Дж/кг; q_i, l_i, w_i, , - соответственно количество подведенного (отведенного) тепла, термодинамическая работа, потенциальная работа, изменение внутренней энергии, изменение энтальпии в процессах, составляющих цикл, Дж/кг; q₁, q₂ – количество подводимого и отводимого тепла в цикле, Дж/кг.

Пример расчета: 1 кг рабочей смеси объемного состава =0,23, =0,55, =0,22 совершает цикл (рис.1). Известны параметры: Р₁ =2·10⁵ Па, Р₄ =8·10⁵ Па, t₁ =100 °С, t₂ =300 °C, =0,27 м³/кг, n =1,5.

 

Определить:

1. Параметры в характерных точках цикла Р,υ, T.

2. Средние массовые теплоемкости в процессах цикла.

3. Термодинамическую l и потенциальную работу w, теплоту q, изменение внутренней энергии , энтальпии и энтропии в процессах цикла, работу цикла ,термический к.п.д. цикла .

4. Построить цикл в координатах Р-V и Т -S.

Расчет газовой смеси (табл.1)

а) определение массового состава смеси

;

.

 

Проверка: 0,227+0,475+0,298=1.

б) определение кажущейся молярной массы смеси

_см = = =32,45 кг/К^.моль.

Проверка: через объемные доли

_см = = 0,23 кг/К^.моль.

в) определение газовой постоянной смеси

Дж/кг·К,

R_i = 8314/ , - газовая постоянная компонента.

Проверка: через объемные доли

Дж/кг·К = 0,256 кДж/кг·К.

 

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ

Параметры состояния определяют по уравнению процесса, по соотношению между параметрами в процессах (табл.2), если в одной точке процесса известно три параметра, а в другой - один. Уравнение состояния – Клайперона применяют, если в точке известны два параметра из трех и для проверки.

1. определяется из уравнения Клайперона

υ₁= м³/кг.

2. - из соотношения в адиабатном процессе

/ = , отсюда = ,

где k = - показатель адиабаты.

Для определения и необходимо найти теплоемкости компонентов смеси (табл.8, 9) в интервале от 0°С до t°C.

Диапазон температур	Теплоемкости, кДж/кг·К
0 - 100	0,923	1,04	0,866	0,663	0,743	0,677
0 - 300	0,95	1,049	0,949	0,69	0,752	0,76

По формуле (З) определяются средние массовые теплоемкости смеси в диапазоне температур от 0°С до 100°С и от 0°С до 300°С, ло формуле (2) - в диапазоне температур от 100°С до 300°С.

кДж/кг·К;

кДж/кг·К.

 

Проверка по закону Майера: ;

R_см = 0,256 КДж/кг·К; 0,996 - 0,740 = 0,256.

= 0,227·0,923 + 0,475·1,040 + 0,298·0,866 = 0,961 кДж/кг·К;

= 0,227·0,663 + 0,475·0,743 + 0,298·0,667 = 0,705 кДж/кг·К.

Проверка: = ; 0,961-0,705 =0,256 кДж/кг·К;

кДж/кг·К;

кДж/кг·К.

Проверка: 1,013 - 0,757 = 0,256.

Показатель адиабаты К = 1,013/0,757 = 1,337 1,34;

м³/кг.

3. p₂ - из соотношений адиабатического процесса 1 – 2

10,86·10⁵Па.

Проверка по уравнению Клайперона: = 0,86·10⁵ Па.

4. p₃ - по уравнению изобарного процесса 2-3, т.е.

р = idem; р₃ = р ₂=10,86 Па.

5. T₃ - из соотношения параметров в изобарном процессе

, отсюда T₃ = = 573·0,27/0,135 = 1146 К.

Проверка: =10,86·10⁵·0,27/256=1146 К.

6. По уравнению изотермического процесса T₄ = T₃ = 1146 К.

7. – из соотношения параметров в изотермическом процессе:

P₃/P₄= ;

=10,86·10⁵·0,27/(8·10⁵)=0,367 м³/кг.

Проверка: = 256 ·1146/(8·10⁵)= 0,367 м³/кг.

8. В изохорном процессе 5 - 1: = 0,477 м³/кг.

9. T₅ - из соотношения параметров для политропного процесса 4-5:

=1004 К.

10. p₅ - тоже из соотношения параметров:

=8·10⁵(0,367/0,477)^1,5 =5,4ּ10⁵ Па.

Проверка: = 256·1004/0,477 =5,4·10⁵ Па.

Результаты сводятся в табл. 3.Таблица №3

№ точек	p, Па	, м3/кг	T, К	t, 0С
	2·105	0,477
	10,86·105	0,135
	10,86·105	0,270
	8,00·105	0,367
	5,40·105	0,477

Средние массовые теплоемкости в процессах цикла

Расчет теплоемкостей в процессах цикла ведется аналогично расчету в адиабатном процессе 1-2. Сначала определяются средние массовые теплоемкости компонентов смеси и в диапазоне от 0°С до температуры точек цикла по табл.8, 9 методом линейной интерполяции, обязательно проверяя расчет по закону Майера, например, для кислорода – в интервале температур от 0°С до 873 °С:

кДж/кг·К

1,023 – 0,763 = 0,260

После проверки результаты расчета сводятся в табл. 4

Таблица №4

 

Диапазон температур	Теплоемкости, кДж/кг·К
0 - 873	1,023	1,105	1,099	0,763	0,808	0,910
0 - 731	1,008	1,090	1,070	0,748	0,793	0,881

 

 

Затем рассчитываются средние массовые теплоемкости смеси от 0°С до температур точек цикла по формуле (3) (расчет обязательно проверяется по закону Майера).

Таблица №5

0°C-t°C	0-100	0-300	0-873	0-731
, кДж/кг·К	0,961	0,996	1,084	1,065
, кДж/кг·К	0,705	0,740	0,828	0,809

Средние массовые теплоемкости смеси в процессах цикла рассчитываются по формуле (2). Для изотермического процесса 3-4

= и = ,

т.к. изменение температуры равно нулю. Проверив расчет теплоемкости по закону Майера, результаты сводят в табл. 6.

Таблица №6

Процесс	1-2	2-3	4-5	5-1
Диапазон температур	100-300	300-873	873-731	731-100
, кДж/кг·К	1,013	1,130	1,182	1,081
, кДж/кг·К	0,757	0,874	0,926	0,825

 

Термодинамическая работа l, потенциальная работа w, изменение внутренней энергии u, изменение энтальпии h, изменение энтропии S, количество тепла q в процессах цикла

Процесс 1-2, адиабатный k = 1,34; q = 0

=0,757(573-373)=151,4 кДж/кг

=l,013(573-373)=202,6 кДж/кг

кДж/кг

w ₁₂ кДж/кг

q₁₂ = 0, dS = q/T = 0, S₁₂ = 0, следовательно, S₁ = S₂

Остальные процессы цикла рассчитываются аналогично, используя формулы табл.2.

Результаты расчетов сведены в табл. 7

Процесс	u кДж/кг	h кДж/кг	w кДж/кг	l кДж/кг	q кДж/кг	S кДж/кг·К
1-2	151,4	202,6	-201,8	-150,6	0	0
2-3	500,8	647,5	0	146,6	647,4	0,783
3-4	0	0	90,0	90,0	90,0	0,079
4-5	-131,5	-167,8	109,0	72,7	-58,8	-0,055
5-1	-520,6	-682,0	162,0	0	- 520,6	-0,817
Показатели цикла	=0,1	= =0,3	=159,2	=158,7	=158	= – 0,01

 

Термический к.п.д. цикла ;

q₂ = q₄₅ + q₅₁ = – 58,1–520,6= – 579,4 кДж/кг;

q₁ = q₃₄ + q₂₃ =674,4 +90 = 737,4 кДж/кг;

l_ц=q₁ – = 737,4-579,4 = 158кДж/кг.

Построение цикла в Р -V и Т -S координатах

При изображении цикла в координатах Р-V (рис.2) сначала строятся характерные точки цикла (1, 2, 3, 4, 5) по известным значениям давления и удельного объема. Затем - процессы, изображаемые прямыми линиями - изобарический процесс 2- 3 и изохорический процесс 5-1. Для построения криволинейных процессов - адиабатического 1-2, изотермического 3 - 4 и политропного 4 - 5 - необходимо определить две-три промежуточные точки между характерными точками по уравнению процесса (pV^k = idem, pV = idem, pVⁿ = idem).

При построении цикла в координатах Т -S (рис.3) также сначала строятся характерные точки цикла по значениям T и . Так как абсолютное значение энтропии неизвестно ни для одной из точек, то энтропия выбирается произвольно, затем строятся процессы, изображаемые прямыми линиями - изотермический и адиабатный. При построении промежуточных точек криволинейных процессов температуры этих точек задаются, а изменение энтропии определяется по формулам (табл.2). Например, для процесса 4-5 задается промежуточная температура = 1100 К, а изменение энтропии определяется:

кДж/кг·К,

где - средняя массовая изохорная теплоемкость смеси в процессе 4-5.

Таким образом, используя данные расчета характерных и промежуточных точек, термодинамический цикл изображается в масштабе в Р -V и Т -S координатах на миллиметровой бумаге (формат А4), (рис.2, 3)

 

 

(S₁ выбираем произвольно)

 

 

Рис. 2. Расчетный цикл в координатах T-S

 

 

Рис. 3. Расчетный цикл в координатах P-V
Средняя массовая теплоемкость при постоянном давлении

в диапазоне температур от 0ºС до 1ºС, кДж/кг·К

Таблица №8

	O2	N2	CO	CO2	H20	воздух
	0,915	1,039	1,040	0,815	1,860	1,003
	0,923	1,040	1,042	0,866	1,873	1,006
	0,935	1,043	1,046	0,910	1,894	1,011
	0,950	1,049	1,054	0,949	1,919	1,019
	0,965	1,057	1,063	0,983	1,948	1,028
	0,979	1,066	1,075	1,013	1,978	1,039
	0,993	1,076	1,086	1,040	2,009	1,049
	1,005	1,087	1,098	1,064	2,042	1,060
	1,016	1,097	1,109	1,085	2,076	1,071
	1,026	1,108	1,120	1,105	2,110	1,081
	1,035	1,118	1,130	1,122	2,144	1,091
	1,043	1,127	1,140	1,138	2,177	1,100
	1,051	1,136	1,149	1,153	2,211	1,108
	1,058	1,145	1,158	1,166	2,243	1,116
	1,065	1,153	1,166	1,178	2,275	1,124
	1,071	1,160	1,173	1,190	2,305	1,131
	1,077	1,167	1,180	1,200	2,335	1,138
	1,083	1,174	1,186	1,209	2,363	1,144
	1,089	1,180	1,192	1,218	2,391	1,150
	1,094	1,186	1,198	1,226	2,417	1,156
	1,099	1,191	1,203	1,233	2,442	1,161
	1,104	1,197	1,208	1,241	2,466	1,166
	1,109	1,202	1,213	1,247	2,490	1,171
	1,114	1,206	1,218	1,253	2,512	1,176
	1,118	1,210	1,222	1,259	2,534	1,180
	1,123	1,214	1,226	1,264	2,555	1,184
	1,127	1,220	1,233	1,272	2,575	1,188
	1,132	1,225	1,238	1,277	2,594	1,192
	1,137	1,230	1,243	1,283	2,612	1,197
	1,142	1,235	1,248	1,288	2,630	1,201
	1,147	1,240	1,253	1,294	2,647	1,206