Элементарные способы нахождения предела функции иногда оказываются трудоемкими. В ряде случаев целесообразно использовать правило Лопиталя.
Пусть в некоторой окрестности и точки 
(кроме, быть может, самой точки ) функции 
и 
дифференцируемы и 
. Если 
или 
, т.е частное 
в точке представляет собой неопределенность вида 
или 
, то 
, если предел в правой части этого равенства существует. Другими словами, суть правила Лопиталя состоит в том, что для неопределенностей вида или вычисление предела отношения функций, можно заменить, при соблюдении указанных требований,
вычислением предела отношения их производных, что в большинстве случаев значительно проще.
Если предел отношения производных снова приводит к одному из указанных неопределенностей, то можно применить правило Лопиталя еще раз, т.е исследовать отношение вторых производных и т.д. При этом, прежде чем исследовать отношение вторых, третьих и т.д. производных, нужно максимально упростить выражения, полученные на предыдущем этапе.
В случае неопределенности вида 
или 
следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности или и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В случае неопределенности вида 
или 
или 
следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма. В ряде случаев целесообразно сочетать правило Лопиталя с приемами вычисления пределов рассмотренными в пунктах 3-8.
Пример 13. Найти 
Решение.
= 
Здесь правило Лопиталя применили два раза.
Пример 14. Найти 
Решение.
= 
Пример 15. Найти 
Решение.
= 
= 
Пример 16. Найти 
Решение.
Сначала устанавливаем, что имеет место случай . Затем логарифмируем функцию и ищем предел ее логарифма.
= 
Итак 
Библиография
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.И. Краткий курс высшей математики.-М: Наука, 1986.-576с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том I-М.: Наука, 1978.-456с.
3. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике.-М.: Наука, 1987.-352с.
4. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М.: Высшая школа,1998.-352с.
Приложение А
Расчетные задания
Задача 1. Доказать, что 
(указать 
).
1.1 
, 
1.2 
, 
1.3 
, 
1.4 
, 
1.5 
, 
1.6 
, 
1.7 
, 
1.8 
,
1.9 
,
1.10 
, 
1.11 
,
1.12 
,
1.13 
, 
1.14 
, 
1.15 
, 
1.16 
, 
1.17 
, 
1.18 
, 
1.19 
,
1.20 
, 
Продолжение приложения А
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
2.16 
2.17 
2.18 
2.19 
2.20 
Продолжение приложения А
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
3.10 
3.11 
3.12 
3.13 
3.14 
3.15 
3.16 
3.17 
3.18 
3.19 
3.20 
Продолжение приложения А
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
4.9 
4.10 
4.11 
4.12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
Продолжение приложения А
4.19 
4.20 
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 
5.11 
5.12 
5.13 
Продолжение приложения А
5.14 
5.15 
5.16 
5.17 
5.18 
5.19 
5.20 
Задача 6. Доказать (найти 
, что:
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
Продолжение приложения А
Продолжение приложения А А
6.9 
6.10 
6.11 
6.12 
6.13 
6.14 
6.15 
6.16 
6.17 
6.18 
6.19 
6.20 
Задача 7. Вычислить пределы функций.
7.1 
7.2 
7.3 
7.4 
7.5 
7.6 
7.7 
7.8 
7.9 
7.10 
Продолжение приложения А
7.11 
7.12 
7.13 
7.14 
7.15 
7.16 
7.17 
7.18 
7.19 
7.20 
Задача 8. Вычислить пределы функций.
8.1 
8.2 
8.3 
8.4 
8.5 
8.6 
8.7 
8.8 
8.9 
8.10 
8.11 
8.12 
Продолжение приложения А
8.13 
8.14 
8.15 
8.16 
8.17 
8.18 
8.19 
8.20 
Задача 9. Вычислить пределы функций.
9.1 
9.2 
9.3 
9.4 
9.5 
9.6 
9.7 
9.8 
9.9 
9.10 
9.11 
9.12 
9.13 
9.14 
Продолжение приложения А
9.15 
9.16 
9.17 
9.18 
9.19 
9.20 
Задача 10. Вычислить пределы функций.
10.1 
10.2 
10.3 
10.4 
10.5 
10.6 
10.7 
10.8 
10.9 
10.10 
10.11 
10.12 
10.13 
10.14 
Продолжение приложения А
10.15 
10.16 
10.17 
10.18 
10.19 
10.20 
Задание 11. Вычислить пределы функций.
11.1 
11.2 
11.3 
11.4 
11.5 
11.6 
11.7 
11.8 
11.9 
11.10 
11.11 
11.12 
11.13 
11.14 
Продолжение приложения А
11.15 
11.16 
11.17 
11.18 
11.19 
11.20 
Задача 12. Вычислить пределы функций.
12.1 
12.2 
12.3 
12.4 
12.5 
12.6 
12.7 
12.8 
12.9 
12.10 
12.11 
12.12 
12.13 
12.14 
12.15 
12.16 
12.17 
12.18 
Продолжение приложения А
12.19 
12.20 
Задача 13. Вычислить пределы функций.
13.1 
13.2 
13.3 
13.4 
13.5 
13.6 
13.7 
13.8 
13.9 
13.10 
13.11 
13.12 
13.13 
13.14 
13.15 
13.16 
13.17 
13.18 