Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

(1)

Пусть выбран любой , где , и его норма:

- дифференциальный оператор.

- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через или будем обозначать границу области.

Определение.

- (n-1)-мерное многообразие S в принадлежит классу (), если

для и такие, что:

, где

однозначно проектируется на плоскость , при этом:

D - проекция данного множества на плоскость , - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .

, аналогично .

- множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: .

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

- матрица квадратичной формы.

- n вещественных собственных значений матрицы A

- количество положительных собственных значений.

- количество отрицательных собственных значений.

- количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

2.Если = n - 1, = 1, или = 1, = n - 1, то уравнение гиперболическое.

Ex: - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

Для волнового уравнения:

3.Если , а , то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: .

4.Если , то параболическое уравнение.

Ex: , и - уравнение теплопроводности.

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

Уравнение (1) в новой системе координат:

(1')

Матрица Якоби:

В результате:

Ex:

гиперболическое уравнение.

- канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

Уравнение теплопроводности

Уравнение Пуассона

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

(6)

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.

(8)

(9)

(10)

(11.1)

(11.2)

(11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

- единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.

(12)

(13)

(14.1)

(14.2)

(14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

- изолир. .

- ортонормированный базис в .

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции - разложены по базису

тогда и u(t,x) можно разложить по базису :

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

(7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

(8)

(9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

- общее решение однородного уравнения (7)

(10)

В результате: - частное решение неоднородного уравнения (7).

- общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

т.е. .

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

- собственные векторы и собственные значения.

(6)

- общее решение однородного уравнения (6)

- частное решение неоднородного уравнения (6)

- общее решение уравнения (6).

Рассмотрим функцию:

- бесконечно дифференцируема при .

Если из , то:

, и при функция склеивается как бесконечно гладкая.

-финитная:

- замыкание множества, где отлична от 0.

Введём - функция n переменных.

Свойства :

1) - бесконечно дифференцируемая, финитная:

2) - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

Доказательство.

, С находится из условия .

4) .

Обозначим:

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если , то:

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: .

Если , то : .

Свойства функции :

- срезающая функция.

Пространство .

Определение.

Пусть . Назовём множество функций , пространством , если:

- - измеримы в Q;

- в смысле Лебега.

Вводится . Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

- полное пространство.

Вводится .

Свойства пространства .

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве :

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в .

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в .

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

Рассмотрим - финитная, бесконечно дифференцируема в .

Значит, .

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве .

Определение 2.

Пусть и считается продолженной нулем вне Q . Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если :

Теорема 3.

Любая функция из непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть . Пусть

Оценим:

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

Теорема доказана.

Определение 3.

- бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

- осреднение функции f.

Теорема 4.

Любая функция из сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в .

Доказательство.

От Q к , от к

При .

Возьмем любые две функции:

Определение.

- множество функций, принадлежащих на любом компакте внутри области.

Определение 1.

Пусть

- обобщённая производная функции f, если выполняется:

(1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: - обобщённые производные функции f.

(2)

(3)

(2),(3) - тождество для

- что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

По определению:

Пусть и

Ex 2.

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть , то:

где

1) пусть носитель в , то:

2) пусть : , значит:

Вывод: .

Вывод: , не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть имеет обобщённую производную , то:

1. (4)

если .

2. Если к тому же

(6)

(7)

Доказательство.

Выберем h так, чтобы

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

Утверждение.

Пусть , то

Пусть - открытый компакт, то для

Теорема 5.

Пусть . имеет обобщённые производные и , то

существует обобщённая производная .

Пространство Соболева.

Определение.

, такая, что называется пространством Соболева порядка k.

Обозначения: , или .

Введём .

Утверждение.

- гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

- полное пространство.

Доказательство.

- фундаментальная в

- мультииндекс

- может быть равен 0.

в .

Интегральное тождество для :

Из сильной сходимости следует слабая:

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

1. для .

2.Если , то .

3.Если , то .

4.Если , то

если , то .

5. - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее в .

и пусть .

Пусть .

Пусть , то .

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.

6.Обозначим - куб со стороной 2 a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в .

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.

(определена в растянутом кубе)

Оценим:

Выберем и рассмотрим

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть - ограниченная область, пусть - покрытие замыкания Q, - может равняться бесконечности.

- открытые, тогда: существует конечный набор - финитные, бесконечно дифференцируемые в , неотрицательные функции, такие, что:

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на , расширяем D на путём домножения на .

Доказательство.

Возьмём . Для - y покрывается множеством .

Для каждой выбранной y построим:

покрывается . Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:

Обозначим: . Обозначим: .

Определим: :

Получили: .

Если , то , , и .

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

выполняется свойство 3.

- выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

Продолжение функции из в .

Лемма 1.

- продолжение функции f:

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по до k -го порядка.

Доказательство.

Определим (2)

Коэффициенты из условия:

(3)

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

Выполняется одно уравнение из (3), и:

Значит: .

Неравенство (1) очевидно через определение нормы в .

Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.

Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.

(4)

Теорема о продолжении функции.

Пусть - ограниченная область, граница . Пусть ( - область), тогда:

- продолжение f, такая, что:

3) (5)

Замечание.

Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на и все свойства, как в лемме 1.

Доказательство.

В окрестности каждой точки границы: нарисуем шар .

Пусть в O(z) граница задаётся уравнением .

Введём новые переменные:

- невырожденное преобразование координат.

Преобразование: - внутри пространства Соболева.

Во что перейдёт множество:

Вырезали куб .

Результат преобразования

Прообраз куба - криволинейный кубик.

Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.

(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y,

переход от y к x:

Введём: если

на носителях обратятся в 1.

Свойства оператора продолжения:

1. F(x) - ограниченный оператор;

2. Т.к. - финитная, то F(x) - финитная на

Доказать: F(x)=f(x),если .

Замечание.

Теорема 1 остаётся справедливой для пространств (следует из доказательства).

Теорема 2.

Пусть - ограниченная область

, - всюду плотно в .

Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию .

- ограниченная.

F -продолжение f. Так как F - финитная в, то

Сепарабельность пространств Соболева.

Теорема.

Пусть - ограниченная область, , тогда:

- сепарабельное.

Построениe счётного всюду плотного множества.

Доказательство.

Рассмотрим ; продолжение функции f: .

Аппроксимируем функцию F. Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций .