Глава 2. Кратные корни многочлена

Понятие корня и кратного корня.

Элемент называется корнем кратности многочлена , если делится без остатка на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым.([2],с.152)

Число корней многочлена степени не превышает даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.

Всякий многочлен с комплексными коэффициентамиимеетпо крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры).

Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен чётной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.[4]

Критерий кратности корней.

Теорема. Элемент является корнем многочлена кратности тогда и только тогда, когда и он является корнем кратности у производной многочлена .

Доказательство.

Необходимость. Пусть - корень кратности многочлена , тогда по определению , где не делится на . Применим теорему (для любых многочленов , и любого натурального справедливо равенство где обозначает ).

Отсюда имеем, что

Следовательно, делится на , но не делится на , так как не делится на .

Достаточность. Пусть и делится . Докажем, что – корень кратности многочлена . Предположим, что , где не делится на . Тогда

многочлен не делится на и, следовательно, является корнем кратности производной , откуда . ([2],с.152)

Любой многочлен может быть единственным образом разложен по степеням

Это легко доказывается индукцией по степени многочлена. Действительно, разделим на с остатком. Получим

где – остаток, – многочлен степени . В силу индуктивного предположения

откуда .

Опишем алгоритм для вычисления коэффициентов . Свободный член разложения есть остаток от деления на , есть остаток при делении неполного частного на , и вычисление последующих коэффициентов требует вычисления неполного частного при делении на . Далее, находится как остаток при делении на и т.д.

Красивые формулы для коэффициентов указывает следующая теорема.

Теорема(Тейлор). Любой многочлен степени можно представить в виде

Доказательство. Пусть
.

Продифференцируем раз обе части этого равенства. Используя правила дифференцирования, получаем, что

Полагая , имеем . ([2],с.153)

Схема Горнера.

Деление произвольного многочлена на двучлен может быть выполнено существенно проще, чем деление на произвольный многочлен.

Действительно, если нужно разделить многочлен

на двучлен , где , т.е. найти такие и , что , , и , естественно искать в форме . Тогда получим равенство

равносильное цепочке равенств

……………………

откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

……………………

Заметим, что остаток равен значению многочлена при .

Действительно, переходя в равенстве к значениям при , получим , откуда .

Указанный способ вычисления коэффициентов частного и остатка носит название схемы Горнера.([2],с.154-155)

Пример 1. Разложить многочлен по степеням .

Применим схему Горнера.


					32
				80
			80
		40
	10
1

Остатки подчёркнуты.

Таким образом, .

Для приближённого вычисления корней многочлена бывает нужно найти одновременно и . Выполнить это можно при помощи схемы Горнера, вычислив два коэффициента разложения по степеням .