Линейные уравнения с параметрами
Линейное уравнение - это уравнение вида а·х=b
Решение этого уравнения зависит от значения а
1) Если а=0, то
· если b=0, то 0х=0, следовательно, хϵR;
· если b≠0, то 0х≠0, следовательно, уравнение не имеет решений.
2) Если а≠0, то 
- единственный корень.
Пример 1:
Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2
1) 2а(а-2)=0
а=0 или а=2
Если а=0, то 0х=-2, то есть уравнение не имеет корней;
если а=2, то 0х=0, то есть хϵR.
2) 2а(а-2)≠0, то есть а≠0 и а≠2
;
Ответ: при а=0 уравнение не имеет корней;
при а=2 хϵR;
при аϵR∖{0;2} .
Пример 2:
Решите уравнение (а 2-2а+1)х = а2+2а-3
Преобразуем уравнение в вид (а -1)2 х = (а+3)(а-1)
1) (а -1)2 =0
а=1
Если а=1, то 0х=0, хϵR.
2) (а -1)2 ≠ 0
а ≠ 1
Если а ≠ 1,то 
; 
.
Ответ: при а=1 хϵR;
при а ≠ 1 .
Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным
Дробно-рациональное уравнение - уравнение вида f(x)=g(x)
, где 
Пример 1:
D(y): 
Выполним необходимые преобразования для приведения уравнения к целочисленному виду, получаем:
3ах-5 = (2а+1)(х+3) - 5(а+2)(х-3)
Тогда (6а+9)х=21а+38 - конечный вид линейного уравнения с параметром а
1) 6а+9=0
а= 
1,5
Если а=1,5, то 0х= 6,5, то есть уравнение не имеет корней.
2) 6а+9≠0
а≠ 1,5
Если а≠ 1,5, то 
.
3) Узнаем значение параметра а при х=3 и х= 3
если х=3, то 
, тогда 18а+27=21а+38, т.е. а = 
если х=-3, то 
, тогда -18а-27=21а+38, т.е. а = 
Ответ: при аϵ{1,5; 
; ; 
} уравнение не имеет корней;
при аϵR∖{1,5; 
; } .
Пример 2:
Решите уравнение: 
D(y): 
Данное уравнение запишем в виде 
1) а² 
= 0
а=1, а=
Если а=1, то 0х=0, хϵR;
если а=-1, то 0х=-2, то есть уравнение не имеет действительных корней.
2) а² ≠ 0
т.е. а≠1, а≠
Если аϵR∖{ 1; 
1}, то 
; 
; 
.
3) Узнаем значение параметра при х=1
если х=1, то 
, тогда а+1 = а+2, т.е. нет такого а.
Ответ: при а=-1 уравнение не имеет корней;
при а=1 хϵR∖{1};
при аϵR∖{-1;1}, 
.
Пример 3:
Решите уравнение: 
D(y): 
Запишем уравнение в виде (х+3)(а²+2а-8)=3(а+4)(а+1)
(х+3)(а+4)(a-2)=3(а+4)(а+1)
x(a+4)(a-2)+3(a+4)(a-2)=3(a+4)(a+1)
a(a+4)(a-2)=3(a+4)(a+1-a+2) (а+4)(а-2)х=9(а+4)
1) (а+4)(а 2) =0
а= 4, а=2
Если а= 4, то 0х=0, следовательно хϵR;
если а=2, то 0х=54, следовательно уравнение не имеет корней.
2) (а+4)(а 2) ≠0
а≠ 4, а≠2
Если аϵR∖{-4;2}, то 
; 
.
3) Узнаем значение параметра при х=-3
если х=-3, то 
.
Ответ: при аϵ{ 1;2} уравнение не имеет корней;
при а= 4 хϵR∖{3};
при аϵR∖{ 4; 1;2} .
Пример 4:
Решить уравнение 
относительно параметра a
Преобразуем уравнение 
D(y): 
В результате ряда преобразований получаем
4(а+3)х=8-5а - вид уравнения, наиболее удобный для использования.
1) 4(а+3)=0
а= 3
Если а= 3, то 0х= 23, т.е. уравнение не имеет корней.
2) 4(а+3)≠0
а≠ 3
Если а≠ 3, то 
.
3) Узнаем значения параметра а при х= 1 и х=2
Если х=-1, то 
, тогда 8 5а= 4а 12, то есть а=20;
если х=2, то 
= 2, тогда 8а+24=8-5а, то есть а= 
.
Ответ: при аϵ{ 3; ; 20} уравнение не имеет корней;
при аϵR∖{-3; ; 20} .
Пример 5:
Решите уравнение 
D(y): 
Запишем уравнение в виде а²(х 1)+5а(х+1)=5(а 5)
a²x a²+5ax+5a=5a 25
ax(a+5)=a² 25
аx(а+5)=(а 5)(а+5)
1) а(а+5)=0
а=0, а= 5
Если а =0, то 0х= 25, т.е. уравнение не имеет корней;
если а= 5, то 0х=0, то есть хϵR.
2) а(а+5)≠0
а≠0, а≠ 5
Если аϵR∖{ 5;0}, то 
; 
.
3) Узнаем значение параметра а при х=0
Если х=0, то 
, тогда а 5=0, а=5.
Ответ: при аϵ{0;5} уравнение не имеет корней;
при а=-5 хϵR∖{0};
при а ϵR∖{-5;0;5} .
Задания для тренировки:
Решить и исследовать уравнения с параметром:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
.
Квадратные уравнения с параметрами
Квадратное уравнение - это уравнение вида 
Решение этого уравнения зависит от значения а и дискриминанта.
1)Если а=0, то исходное уравнение превращается в линейное вида
2)Если а≠0, то вычисляем дискриминант D, где 
(Также, если b четное, можно использовать 
где 
· если D>0, то уравнение имеет два различных корня: х₁= 
, х₂= 
;
· если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня х₁,₂= 
;
· если D<0, то уравнение не имеет корней.
Пример 1:
Решим и исследуем уравнение ах2 –(1-2а)х+а-2 =0
1) а=0
х 2=0
х= 
2
2) а≠0
Если D<0, то есть 1+4а<0, а< 0,25, то уравнение не имеет корней;
если D=0, то есть 1+4а=0, а= 0,25, то х₁,₂= 
= 3;
если D>0, то есть 1+4а>0, а> 0,25, то х₁,₂= 
.
Ответ: при а=0 х= 2;
при а< 0,25 нет корней;
при а= 0,25 х₁,₂= 
при а∊( 0,25;0)⋃(0;+∞) х₁,₂= .
Пример 2:
Исследовать и решить уравнение с параметром 
Коэффициент при х² равен 1, поэтому сразу найдем дискриминант
Если D<0, то есть (а 2)(а+2)<0, аϵ( 2;2), то уравнение не имеет корней;
если D=0, то есть (а 2)(а+2)=0, аϵ{ 2;2}, то х₁,₂= ,
т.е. при а= 2 х= 2, при а=2 х=0;
если D>0, то есть (а 2)(а+2)>0, аϵ( ∞; 2)∪(2;+∞), то х₁,₂= .
Ответ: при аϵ( 2;2) нет корней, при а= 2 х= 2;
при а=2 х=0;
при аϵ( ∞; 2)∪(2;+∞) х₁,₂= .
Пример3:
Исследовать и решить уравнение с параметром 
1) а+20=0
а 
20
2) а+20≠0
а≠ 20
Если D<0, то есть 
то уравнение не имеет корней;
если D=0, то есть 
то х₁,₂= 
,
т.е. при а 11 
, при а=5 
;
если D>0, то есть 
то х₁,₂= 
.
Ответ: при а 20 при а ϵ ( 11;5)нет корней;
при а=-11 ;
при а=5 ;
х₁,₂= .
Пример 4:
Исследовать и решить уравнение с параметром 
1) а 
а 3
.
2) а+3≠0
а≠ 3
Если D<0, то есть 
то уравнение не имеет корней;
если D=0, то есть 
то х₁,₂= 
,
т.е. при а=0,2 х=0,25, при а=1 х=0,5;
если D>0, то есть 
то х₁,₂= 
.
Ответ: при а 3 ;
при 
нет корней;
при а=0,2 х=0,25;
при а=1 х=0,5;
при 
х₁,₂= .