Тема 2. Производная функции

Тема 1. Предел функции

 

Число А называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа ( >0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию x x< , выполняется неравенство x А x< .

Для предела функции вводится обозначение =А.

Пределы функций обладают следующими основными свойствами:

Функция не может иметь более одного предела.

Если = С (постоянная), то С.

Если существует А, то для любого числа верно:

 

 

Если существуют А и В, то = АВ, а если В 0, то

 

.

 

Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула

Если функция непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :

Функция ( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю: Функция называется бесконечно большой величиной при , если

 

Пример 1. 9.

 

Пример 2. .

 

В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших ().Кроме названных встречаются неопределенности вида

Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:

- первый замечательный предел

-второй замечательный предел (число Эйлера).

Пример 3. .

 

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :

 

.

 

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени и найдем его решение:

 

 

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители

 

.

 

Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.

Уравнение имеет решения

 

и знаменатель представляется в виде:

Сократим дробь на множитель и вычислим ее при

 

 

Пример 4.

 

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю

 

= .

 

Пример 5. .

 

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:

.

 

Пример 6. .

 

Решение. При имеем неопределенность вида . Представим , разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и , тогда предел преобразуется к виду:

 

.

 

Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:

 

.

 

Пример 7. .

 

Решение. Имеем неопределенность вида [ ], так как

 

, а .

 

Выделим у дроби целую часть

 

.

 

Введем новую переменную и выразим отсюда через : . Тогда

 

 

Заметим, что при переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:

 

= .

 

Неопределенности вида путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.

Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.

Решение. При % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в

 

раз, т.е. .

 

Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а раз, то размер вклада за лет при начислениях составит

 

.

 

Тогда размер вклада за лет при непрерывном начислении процентов () сводится к нахождению предела

 

.

 

Здесь при решении использовался второй замечательный предел.

Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем

(ден. единиц).

 

Вопросы для самопроверки

Дайте определение предела функции в точке.

Назовите основные свойства пределов функций.

Какие виды неопределенностей встречаются при нахождении пределов?

Какие пределы называются замечательными?

Какие функции называют бесконечно малыми?

Задачи для самостоятельной работы

 

Найти пределы следующих функций:

Номер варианта	А)	Б)

Таблица 1.

 

Тема 2. Производная функции

 

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается:

 

.

 

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.

Производная постоянной равна нулю: .

Постоянный множитель выносится за знак производной

 

.

 

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций

.

 

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго

 

.

 

Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле

 

.

 

Пусть переменная есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция от независимой переменной (), иначе задана сложная функция .

Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :

 

 

Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.

 

Таблица 2.

№	функция	производная	№	функция	производная
					1/
					-1/
		1/			1/()
					-1/()
					1/(1+ )
		-			-1/(1+ )

 

Пример 1. Найти производную функции

 

.

 

Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда и . Найдем производную по промежуточному аргументу как степенной функции

 

.

 

В свою очередь, промежуточный аргумент представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим

 

= .

Отсюда производная искомой функции

 

.

 

Пример 2. Найти производную функции

 

.

 

Решение. Обозначим , . Тогда и искомая производная находится из формулы .

Производную находим из таблицы производных элементарных функций

 

.

 

Второй сомножитель представляет производную от степенной функции

 

 

Наконец, последняя производная находится по правилам дифференцирования частного

 

= = .

 

В итоге получаем искомую производную

 

.

 

Пример 3. Наити производную

 

.

 

Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных

 

.

 

Для нахождения производной первого слагаемого обозначим , .

Тогда ,

 

=

Производную второго слагаемого найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию : Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства

 

 

Отсюда

 

 

Наконец, находим производную искомой функции

 

 

Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса населения на некоторый товар в зависимости от цены :

 

.

 

Определить эластичность спроса при (в условных денежных един.).

Решение. Эластичностью спроса называют предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при :

.

 

Если >1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при нейтральным.

Найдем производную

 

.

 

Тогда

 

.

 

Определим эластичность спроса при : . Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.

Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.

 

 

Если (или ), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.

 

 

В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.

Пример 5. Найти

 

 

Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.

 

 

Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

 

 

Вопросы для самопроверки

Дайте определение производной функции в точке.

Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Назовите важнейшие правила дифференцирования.

Как находится производная сложной функции?

Сформулируйте правило Лопиталя.

Задачи для самостоятельной работы

Найти производные следующих функций:

 

Таблица 3.

Номер варианта	А)	Б)	В)
	y=(3x4-4x(-1/4)+2)5	y=arccos2x+(1-4x2)1/2	y=2tgx+x sin(2x
	y=(5x2+4x(5/4)+3)3	y=arctg(x2-1)1/2	y=e3x-2x tg(3x)
	y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3	y=arccos(1-x2)1/2	y=3cosx-x sin(2x)
	y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4	y=arctg(x-1)1/2
	y=(3x8+5x(2/5)-3)5	y=arctg(2/(x-3))
	y=(5x4-2x(-3/2)+3)4	y=arccos(1-x)1/2
	y=(4x3+3x(-4/3)-2)5	y=arcctg(x-1)1/2
	y=(7x5-3x(5/3)-6)4	y=arcsin3x-(1-9x2)1/2	y=etgx-x1/2 cos(2x).
	y=(3x4-4x(-1/4)-3)5	y=arctg(1/(x-1))	y=x tg3x+2x-2
	y=(8x3-9x(-7/3)+6)5	y=arcsin((1-x)1/2)