Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция 
называется равномерно непрерывной на множестве 
, если: 
. (в отличие от критерия Коши: 
).
Пояснение: 
Пусть: 
. Тогда: 
Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве 
.
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке 
, и если 
можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше 
. То - интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а 
отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и 
.
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , 
, тогда: 
функция интегрируема на 
и функция 
называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция 
- интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции 
следует её непрерывность, т.е. 
Замечание 2: Поскольку 
- одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: 
. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла 
от непрерывной функции сделана подстановка 
.
Теорема. Если 1. Функция и ее производная 
непрерывны при 
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. 
, то = 
.
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница = 
. Т.к. 
, то 
является первообразной для функции 
, . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
= 
.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл 
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция 
и функция 
такие, что подынтегральное выражение 
может быть записано в виде:
.
Тогда: 
. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла 
(который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить 
.
.
Подстановка: 
.
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл , где 
. Введём новую переменную формулой: 
, где функция 
дифференцируема на 
и имеет обратную 
, т.е. отображение на 
- взаимно-однозначное. Получим: 
. Тогда 
. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке 
.
Пример: Вычислить 
.
, откуда: 
.
Интегрирование по частям. Пусть 
- дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: 
, или короче: 
. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде 
, что интеграл 
вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить 
.
Положим 
. Тогда 
. В качестве 
выберем первообразную при 
. Получим 
. Снова 
. Тогда 
. Окончательно получим: 
.
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла 
методом интегрирования по частям получается зависимость: 
. Откуда можно получить выражение для первообразной: 
.