ВВЕДЕНИЕ
При выполнении заочниками контрольных работ и подготовке к экзамену необходимо изучить теоретический материал, ориентируясь на программу курса, ознакомиться с решением примеров, приведенных в методических указаниях, прорешать контрольные задания.
Правила оформления и выполнения контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.
1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, в двойном номере которого вторая цифра совпадает с последней цифрой его шифра – номера его зачетной книжки.
2. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клеточку чернилами синего или черного цвета.
3. Образец оформления титульного листа (обложки) тетради можно посмотреть на выпускающей кафедре или на кафедре высшей математики.
4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.
5. Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе.
6. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (рисунки).
7. Компьютерное оформление работы не рецензируется.
8. Возвращенная прорецензированная незачтенная работа исправляется студентом; исправление записывается в конце работы. Вносить исправления в проверенный текст работы – запрещается.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
2.1.Комплексные числа
Комплексным числом называется число вида  , где  и  действительные числа, а  – мнимая единица такая, что  .
При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической;  является действительной частью комплексного числа, а  – мнимою. Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме:  или показательной форме:  , где  – модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа такой, что  , где  или  .
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.
|
Пример выполнения задания № 1. Дано комплексное число 
. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме 
).
Для этого умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Смотрим на формулу 
. В знаменателе уже есть 
, поэтому знаменатель и числитель нужно умножить на сопряженное выражение 
, то есть на 
:
Представим в тригонометрической форме число 
. Найдем модуль комплексного числа 
то 
- воспользуемся нечетностью арктангенса. К сожалению, в таблице отсутствует значение 
, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число 
в тригонометрической форме.
Элементы линейной алгебры
Пример выполнения задания № 2. Найти X из матричного уравнения
.
Решение
Запишем уравнение в матричной форме 
, где
, 
, 
, 0= 
.
Преобразуем уравнение 
. Выполним действия с матрицами в правой части
.
Обозначим полученную матрицу 
и запишем уравнение в виде
.
Умножим обе части равенства слева на 
, получим 
.
С учетом того, что 
, решением уравнения будет 
,
где 
– матрица обратная матрице 
.
Если определитель матрицы 
отличен от нуля, то она имеет обратную, которая имеет вид:
,
где 
- определитель матрицы ,
- алгебраическое дополнение элемента 
матрицы 
.
Для данной системы:
,
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Таким образом,
.
Найдем решение данного уравнения, умножив матрицу А -1 на матрицу 
.
.
Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение.
.
Итак, найденное значение 
обращает уравнение в тождество.
Ответ: 
.
Пример выполнения задания № 3. Решить систему методом Крамера
Решение
Если 
– главный определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, а 
– вспомогательный определитель, полученный из главного заменой j –го столбца столбцом свободных членов, то при 
система имеет единственное решение, определяемое по формулам 
. Эти формулы называются формулами Крамера. Для нашей системы
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Решение системы (0; –1; 2).
Сделаем проверку, подставив найденные значения в систему
Итак, найденное решение обращает уравнения в верные равенства.
Ответ: (0; –1; 2).