Вопросы по дисциплине «Математика»
№1. 1. Сформулировать понятие множества. Изложить действия над множествами, разъяснить их суть и перечислить их свойства.
2. Запишите множество А, элементы которого - натуральные числа от 1 до 10 и множество В, элементами которого являются делители числа 24.
3. Найдите:
1) объединение А и В; 2) пересечение А и В; 3) разность А и В.
№2. 1. Опишите основные элементы математической логики. сформулируйте законы алгебраической логики, определите простейшие операции над высказываниями.
2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний:
1)Число 4 удовлетворяет неравенству х<8 и неравенству x>2,5.
2) Не все простые числа нечётные.
Для каждого из высказываний укажите, что является истинным: само высказывание или его отрицание.
3. Приведите примеры дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквиваленции высказываний из элементарной математики.
№3. 1. Изложить принцип математической индукции. Определить шаги индукции. Раскрыть сущность метода математической индукции.
2. Запишите шаги индукции для доказательства равенства 
.
3. Докажите данное равенство, пользуясь методом математической индукции (выполните третий шаг индукции).
№4.. 1. Сформулировать теорему и записать формулу бинома Ньютона. Перечислить свойства бинома. Записать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов.
2. Вычислите 
.
3. Найдите 9-й член в разложении бинома Ньютона 
№5. 1. Дать определение целой рациональной и дробно-рациональной функции, правильной и неправильной рациональной дроби.
2. Из заданных дробей выбрать правильные дроби
; 
; 
; 
; 
; 
..
3. Из неправильной дроби выделите целую часть и запишите указанную дробь в виде суммы целой части и правильной дроби.
№6. 1. Назвать виды простейших дробей и записать их формулы. Изложить суть разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей.
2. Из заданных дробей выбрать простейшие дроби и указать их тип:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
3.. Представьте данную правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами в числителях дробей (без вычисления коэффициентов):
; 3) 
4) 
№7. 1. Записать формулы представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами. Изложить метод неопределенных коэффициентов.
2. Проверьте правильность найденных коэффициентов разложения 
.
3. Представьте данную правильную дробь 
в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами в числителях дробей и вычислите коэффициенты разложения:
№8. 1..Дать понятие комплексного числа. Записать три формы представления комплексных чисел. Дать геометрическую интерпретацию комплексного числа и его изображения на комплексной плоскости, действительной и мнимой части комплексного числа, его модуля и аргумента.
2.Даны комплексные числа: z1=-4 и z2=4+4i.
Найдите: а) действительную и мнимую части указанных чисел;
б) числа, комплексно-сопряженные данным
3. Найдите: а) модули и аргументы указанных чисел; б) запишите указанные числа в тригонометрическом и показательном виде.
№9. 1. Записать формулу тригонометрического представления комплексного числа, определить действия над числами в тригонометрической форме, записать соответствующие формулы.
2. Даны комплексные числа 
и 
. Укажите модуль и аргумент каждого числа, найдите их произведение и частное.
3. Вычислите а) 
; б) 
.
№10. 1. Дать определение матрицы, определить виды матриц. Изложить линейные операции над матрицами и их свойства, записать соответствующие формулы.
2. Найдите линейную комбинацию двух матриц 
, если 
, 
, 
, 
.
3. Проверить, коммутируют ли матрицы и .
№11. 1. Дать определение определителя квадратной матрицы. Записать формулы для вычисления определителей 2-го порядка. Сформулировать правило Саррюса и теорему Лапласа и записать соответствующие формулы для вычисления определителя 3-го порядка.
2.1)Вычислите определитель второго порядка: 
;
2) Вычислите определитель 3-го порядка 
(любым из способов).
№12.. 1.. Дать определение определителя квадратной матрицы. Изложить свойства определителя, способы вычисления определителей
2. В ычислите определитель 2-го порядка 
, используя его свойства
3. Вычислите определитель методом понижения его порядка 
.
№13. 1. Определить понятие обратной матрицы. Изложить ее свойства. Изложить алгоритм вычисления обратной матрицы.
2. Определите, существует ли матрица, обратная для заданной матрицы 
. Ответ поясните.
3. Найти матрицу, обратную для А. и выполнить проверку.
№14.. 1. Дайте определение минора порядка k для произвольной матрицы, ранга и базисного минора матрицы. Приведите примеры. Назовите способы нахождения ранга матрицы
2. Определите, между какими значениями заключается ранг матрицы А= 
.
3. Определите ранг матрицы А любым способом и укажите какой-нибудь базисный минор.
№15. 1.Определить понятия системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, ее решения, совместности, определенности, несовместности, неопределенности, эквивалентности, эквивалентных преобразований. Сформулировать критерий совместности системы.
2.Дана расширенная матрица системы 
. Запишите систему, соответствующую данной матрице. Пользуясь критерием Кронекера-Капелли, сделайте вывод о совместности либо несовместности данной системы.
3. Дана расширенная матрица системы 
.. Запишите систему, соответствующую данной матрице. Найдите все базисные решения данной системы.
№16. 1. Записать систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Изложить сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
2. Запишите систему 
в матричном виде и найдите неизвестные с помощью обратной матрицы.
3. Решите матричное уравнение 
.
№17. 1.. Сформулировать теорему Крамера. Записать формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
2. Пользуясь формулами Крамера, решите систему 
.
3. При каком значении параметра a система 
имеет единственное решение? Найдите это решение.
№18. 1. Изложить алгоритм метода Гаусса, раскрыть его сущность и виды решений в зависимости от полученной ступенчатой матрицы. Определить понятие базисных и свободных неизвестных, общего и частного решения для систем с бесконечным множеством решений.
2.Составьте расширенную матрицу системы 
.
3. С помощью метода Гаусса найти неизвестные в системе.
№19. 1. Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства.
2. Вектор 
задан координатами точки начала 
и конца 
, вектор 
задан координатами точек начала и конца 
и 
. Изобразите данные векторы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
3. Постройте векторы 
и 
на той же плоскости.
№20. 1. Дать понятие базиса на плоскости и в пространстве, сформулировать теоремы о разложении произвольного вектора по базису на плоскости и в пространстве. Определить понятия проекции точки и вектора, координат вектора в данном базисе. Записать формулу для вычисления длины вектора
2.Дан вектор 
. Написать разложение данного вектора по векторам прямоугольного декартова базиса.
3. Найти координаты и составляющие вектора 
., вычислить его длину.
№23. 1. Изложить понятие прямоугольной декартовой системы координат. Определить линейные операции над векторами в прямоугольных декартовых координатах и записать соответствующие формулы.
2. Даны векторы 
и 
. Найти векторы 
и 
.
3. Являются ли данные векторы коллинеарными?
.
№21. 1. Дать определение скалярного произведения векторов, изложить его свойства, записать формулу для вычисления в координатной форме. Изложить механический смысл скалярного произведения.
2. При каком значении λ векторы 
и 
взаимно перпендикулярны?
3. В треугольнике с вершинами А(2; -1; 3), В(1; 1; 1) и С(0;0;5) определите угол при вершине А.
№22. 1. Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
2. Даны векторы 
и 
.. Найти их векторное произведение
3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на данных векторах.
№24. 1. Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
2. Проверьте компланарность векторов 
3. Вычислите высоту наклонного параллелепипеда, построенного на данных векторах.
№25. 1. Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства. функций
2.Для функции 
найти ее область определения, область значений, нули функции, доказать ее четность.
3. Построить график заданной функции.
№26. 1. Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.
2.Найдите функцию, обратную для 
если она существует.
3. Постройте графики указанных функций в одной системе координат и найдите их точки пересечения.
№27 1. Определить способы задания прямой на плоскости и вывести различные виды уравнений прямой на плоскости в зависимости от способа задания..
2. Составить уравнение высоты ADтреугольника, заданного точками 
, 
, 
..
3. Записать различные виды уравнений полученной прямой, определить ее угловой коэффициент, построить на плоскости Оху.
№28. 1. Разъяснить критерии определения взаимного расположения прямых на плоскости в зависимости от видов уравнений прямых. Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Дать определение угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой. Записать формулы для определения угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой.
2. Найти угол между прямыми х + 5у – 3 = 0 и 2х – 3у + 4 = 0.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 
, параллельной прямой 2х – 3у + 4 = 0, и найти расстояние между указанными прямыми.
№29. 1. Дать определение окружности, записать ее геометрическое, каноническое, нормальное, параметрические и алгебраическое уравнения., сформулировать геометрические свойства.
2. Написать уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (-1; 4).
3. Найти координаты центра и радиус окружности 
№30. 1. Дать определение эллипса, записать его геометрическое, каноническое, нормальное, параметрические и алгебраическое уравнения, определить основные параметры., сформулировать геометрические свойства.
2. Написать каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось равна 8, а малая – 6.
3. Доказать, что кривая, определяемая уравнением 
, является эллипсом, найти его центр симметрии, большую и малую оси.
Преподаватель О.В.Гальцова
РАССМОТРЕНО
на заседании цикловой комиссии
естественно-математических дисциплин,
протокол №__ от «___»__________2011
Председатель комиссии______________ И.В. Алексеенко