РАБОТЕ № 1
Пример 1. Даны координаты вершин пирамиды 
: 
Найти:
1) длину ребра 
;
2) угол между ребрами 
и 
;
3) уравнение ребра , уравнение плоскости 
и угол между ребром 
и плоскостью 
;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины 
на грань 
и ее длину;
5) площадь грани 
и объем пирамиды;
6) показать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Решение. Найдем координаты векторов, которые совпадают с выходящими из вершины 
ребрами пирамиды: 
1) Длина ребра совпадает с расстоянием между точками 
и 
:
2) Определим угол между векторами, используя скалярное произведение. Так как 
то
, 
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
Подставляя в уравнение координаты точек A1 и A4, получим
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид
Подставляя в уравнение координаты точек 
, 
и 
, получим
Синус угла между прямой 
и плоскостью 
определяется по формуле
Используя эту формулу, находим
4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости , задаваемой уравнением 
. В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор нормали плоскости 
. Уравнение высоты имеет вид
Для нахождения длины высоты можно использовать формулу 
Объем V и площадь 
будут найдены в п. 5). Поэтому
5) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
. Найдем вначале векторное произведение этих векторов. Имеем
.
Объем пирамиды равен 
части объема параллелепипеда, построенного на данных векторах, поэтому вначале находим смешанное произведение этих векторов. Имеем
Поэтому 
.
6) Для того, чтобы векторы 
, ` 
, ` 
образовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля. В п. 5) мы уже вычислили смешанное произведение ` a 
= – 18 ¹ 0.
Таким образом, эти векторы образуют базис. Найдем координаты вектора 
в базисе` a, , 
. Обозначим эти координаты x, y, z. Тогда имеем равенство 
= x a + y + z 
, которое в координатной форме примет вид системы уравнений относительно неизвестных x, y, z
Решим систему уравнений методом Крамера. Определитель этой системы 
= 
18. Вспомогательные определители:
, 
,
.
Решение системы уравнений получим по формулам Крамера
Итак, вектор 
в базисе ` a, 
, 
имеет координаты ( 1;1;0).
Пример 2. Даны координаты вершин треугольника 
: 
, 
, 
. Найти:
1) уравнения сторон 
и их угловые коэффициенты;
2) угол 
в радианах или градусах с точностью до двух знаков;
3) уравнение высоты 
и ее длину;
4) уравнение медианы 
и координаты точки 
пересечения этой медианы с высотой 
.
Сделать чертеж.
Решение. Найдем координаты векторов 
и 
.
1) Уравнение стороны 
получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 
. Подставляя в уравнение координаты точек A и В, имеем
, 
, 
.
Угловой коэффициент прямой равен 
. Аналогичным образом находим уравнение стороны 
:
, 
, 
.
Угловой коэффициент прямой равен 
.
2) Определим угол 
между векторами 
и 
, используя скалярное произведение. Так как 
то
, 
.
3) Уравнение высоты 
находится как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору 
. Имеем 
или 
. Длина высоты 
вычисляется как расстояние от точки 
до прямой 
:
.
4) Находим координаты середины отрезка 
:
, 
.
Уравнение медианы 
получается как уравнение прямой линии, проходящей через две точки 
и 
. Имеем
, 
.
Координаты точки пересечения прямых 
и находятся из системы уравнений этих прямых
Вычисления дают 
, 
.
Пример 3. Найдите уравнение линии 
в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось OX - с полярной осью. Определите вид линии по уравнению в декартовой системе координат.
Решение. Воспользуемся формулами, связывающими координаты точки в декартовой и полярной системе координат: 
, 
, 
, 
, 
.
Получим
,
, 
.
Возведение в квадрат обеих частей приводит к равенству
.
Выделяя полный квадрат, получим
.
Разделив обе части уравнения на 
, убеждаемся, что искомая кривая является гиперболой
,
смещенной вдоль оси OX на 
вправо.
Пример 4 Составить уравнение линии,каждая точка которой одинаково удалена от прямой х = 2 и от точки А (4;0). Сделать чертеж.
Решение. Пусть точка М (х;у) принадлежит искомой линии. Расстояние между точками 
и 
вычисляется по формуле
.
По условию задачи 
.
Расстояние от точки 
до прямой, заданной уравнением 
, вычисляется по формуле
.
Уравнение прямой х – 2 =0. Следовательно 
. По условию задачи d= 
. Поэтому
.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные, получим 
или 
. Следовательно, искомая линия является параболой.
Пример 5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и используя обратную матрицу
Решение. Вычислим определитель системы
.
Определитель отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение
1)Решая систему уравнений методом Крамера, вычислим дополнительные определители:
По формулам Крамера получим решение системы уравнений: 
2) Так как определитель не равен нулю, то матрица системы является невырожденной и, следовательно, имеет обратную матрицу. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде
.
Умножив обе части этого уравнения слева на матрицу A- 1, получим X= A- 1 B. Здесь A- 1 матрица обратная А, которая находится по формуле
Для построения обратной матрицы найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Имеем
, 
, 
Обратная матрица A -1 имеет вид
, 
.
Следовательно, 
, 
.
Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение. В соответствие с методом Гаусса запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов
С помощью элементарных преобразований из расширенной матрицы системы получим треугольную матрицу. Умножим первую строку на -2 и прибавим ее ко второй. Умножим первую строку на -1 и прибавим ее к третьей. Умножим первую строку на -3 и прибавим ее к четвертой. Получим
.
Поменяем местами вторую и третью строки. Четвертую строку разделим на 4. Получим
Умножив полученную вторую строку на 3, прибавим ее к третьей строке; прибавим вторую строку к четвертой. Получим
Таким образом, основная матрица приведена к «треугольному виду». Система имеет единственное решение.
Запишем систему в явном виде
Осуществляя обратный ход от последнего уравнения к первому, получаем решение системы: 