ЗАДАЧА № 6 к к/р
ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
ВВЕДЕНИЕ
Основной задачей современной математической статистики, методы которой опираются на теорию вероятностей, является научная оценка результатов измерений. В таких задачах, как контроль качества продукции, подвергнуть контролю всю продукцию практически невозможно и особенно в тех случаях, где контроль связан с разрушением пробы или изделия, например, при испытании ламп и электронных трубок на долговечность и т.п.
Именно здесь и приходят на помощь методы математической статистики, посредством которых можно по известным свойствам некоторого подмножества объектов, взятого из совокупности, судить о неизвестных свойствах всех объектов, принадлежащих данной совокупности.
Задачи математической статистики состоят:
1) в указании способа группировки статистических данных,
2) в разработке методов анализа статистических данных:
а) оценки неизвестных функций распределения, плотности распределения вероятностей, оценки зависимости между случайными величинами,
б) проверки статистических гипотез о виде неизвестных распределений и т.д.
Для изучения теории и выполнения работы рекомендуется следующая литература:
- Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 5.- М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 296 с.
- Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- Учебн. пособие для вузов. - М.: Высш. шк.,2003.-479 с.
- Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- Учебн. пособие для вузов. - М.: Высш. шк.,2002.-405 с.
Теоретические вопросы
(какие понятия нужно знать, чтобы приступить к выполнению работы)
[Краснов и др. гл. XLIV, стр. 199 и далее,
Гмурман, гл. 16, §1-18, гл. 19, §1-6, 22, 23]
1. Генеральная и выборочная совокупности, способы организации выборки, объем совокупности, варианта, частота варианты, относительная частота варианты;
2. Статистический ряд, вариационный ряд, интервальный вариационный ряд, методика его получения группированием данных;
3. Эмпирическая функция распределения, способы её задания, полигон частот, гистограмма, выборочная оценка плотности вероятности.
4. Генеральные параметры (числовые характеристики) распределения - характеристики положения и рассеяния: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
5. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.
6. Требования, предъявляемые к оценкам генеральных параметров (несмещенность, состоятельность, эффективность).
7. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы.
8. Ошибки первого и второго рода.
9. Критерии значимости, критерии согласия.
10. Основные методы проверки нормальности распределения.
ХОД РАБОТЫ
- Перед вами (в вашем варианте) сто пар чисел (Х) – статистический ряд объёма n =100. Запишите минимальное и максимальное значения совокупности Х (статистического ряда):
. Для этого можно воспользоваться, например, Microsoft Excel. - Найдите размах варьирования измеримого признака:
.
- Выберите число интервалов равным.
Замечание: Выбор r зависит от объёма n, размаха R и от цели статистического исследования. Принято, чтобы получилось не менее 6 и не более 20 интервалов. Одна из формул r=[1+3,2 lg n], т.е. r целая часть числа 1+3,2 lg n.
- Определите, чему равен шаг варьирования признака (длина интервала будущего вариационного ряда Х).
.
- Теперь найдем границы интервалов каждого признака таким образом, чтобы минимальное значение стал серединой первого интервала, а максимальное – серединой последнего. Для этого отступим от
и 
на полшага, а к правому концу каждого интервала будем прибавлять длину шага:
, 
, 
,
, 
; 
;
; 
; 
.
Таким образом, фактическое число интервалов совокупности равно 8.
(Убедитесь в правильности своих подсчетов: значение 
должно быть больше максимального значения 
на полшага.)
6. Найдем середины получившихся интервалов:
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Проверка: 
.
7. Составьте вариационный ряд измеримого признака Х.
Таблица 1
| х | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Здесь 
- число значений 
, попавших в соответствующий интервал 
.
(Проверьте: сумма абсолютных частот 
, где n – объём выборки.)
8. Заполните таблицу «Статистическая совокупность»:
Таблица 2
Статистическая совокупность измеримого признака Х
|
Интер-валы
|
Середины интерв.
| Частоты |
Плотность относительн. частот
| |||
Абсолютн.
|
Относительн.
|
Накоплен. абсолютн.
|
Накопленная относительн.
| |||
|
|
| / 100
|  =0
|  =0
| 
|
| 
|
| / 100
|  =
|  = 
| 
|
| … | … | … | … | … | … | … |
| 
|
| / 100
|  =100-
|  =1- 
| 
|
|
9. По данным таблицы 2, постройте (см. пример):
а) полигон и гистограмму распределения – графические оценки плотности распределения вероятностей генеральной совокупности;
б) полигон накопленных относительных частот – график эмпирической функции распределения:
.
10. Заполните расчетную таблицу, взяв данные для первых трех столбцов в таблице 2:
Таблица 3
Расчет выборочных оценок признака Х
| Серед
Инт.
|
Частота
| Относит. частота
|
 
|
|
|
|
|
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| n | 
| 
| 
| 
|
11. Запишите расчетные формулы для сгруппированных в r интервалов данных:
выборочного среднего 
;
выборочной дисперсии 
;
выборочного среднеквадратичного отклонения 
;
выборочной асимметрии 
;
выборочного эксцесса 
.
12. Найдите исправленные оценки (статистики) генеральных параметров:
- выборочное среднее = 
;
- исправленная дисперсия 
;
- исправленное среднеквадратичное отклонение 
;
-исправленная асимметрия 
;
- исправленный эксцесс 
.
13. Найти моду и медиану по сгруппированным данным:
, где
- середина интервала (модального) с наибольшей частотой 
;
- нижняя граница модального интервала (левый конец отрезка, на котором самое большое значение частоты );
h – длина интервала (см. выше);
, где 
- середина интервала (медианного), содержащего накопленную частоту 
, не превосходящую половины выборки 
(
);
- нижняя граница медианного интервала; 
и - частота и накопленная частота соответственно этого интервала.
14. Для проверки гипотезы Но: генеральная совокупность измеримого признака, из которой извлечена выборка, распределена при данном уровне значимости 
=0,05 по нормальному закону с плотностью
,
где
а и 
- параметры нормального распределения, необходимо:
- объединить интервалы (смотри пример) с абсолютными частотами , меньшими 5, суммируя частоты;
- отметить, чему равно теперь r – число интервалов;
- записать число к - степеней свободы и по таблицам найти 
, k=r-s-1, r- число интервалов, s -число параметров распределения (s=2);
- заполнить расчетную таблицу для вычисления 
:
Таблица 4
Проверка гипотезы Но по критерию Пирсона
| Левая граница
интерв.
| Правая гран.
нтер.
|
Абс.
Частота
| Zi=
= 
| Ф(zi) |
|
|
|
| … | … | … | … | … | … | … | … |
|
|  1
| 
|
где Ф(zi) – значение функции Лапласа для значений zi, записанных в предыдущем столбце,
= 
Ф - теоретическая вероятность попадания случайной величины Х, распределенной нормально, в интервал - (значение функции Лапласа можно найти по таблице).
ПРИМЕР. На заводе железобетонных изделий N для создания марки бетона высокого качества проводилось исследование 100 различных пробных сортов бетона, для которых подсчитывался процент прочности на сжатие (случайная величина Х) и процент сопротивления того же сорта бетона на разрыв (случайная величина У). Получен следующий результат
Статистический ряд. Исходные значения величин
| Х, тыс.км. | У, % | Х, тыс.км. | У, % | Х, тыс.км. | У, % | Х, тыс.км. | У, % | Х, тыс.км. | У, % |
| 38,4 | 18,7 | 40,7 | 30,3 | 27,3 | 25,1 | ||||
| 40,2 | 11,7 | 50,8 | 28,4 | 15,7 | 20,6 | 28,6 | |||
| 24,1 | 20,9 | 38,2 | 22,8 | 47,6 | 11,3 | 52,8 | 15,2 | 19,5 | 19,7 |
| 32,5 | 22,4 | 19,8 | 30,3 | 21,3 | 24,5 | 20,3 | |||
| 29,5 | 35,7 | 15,3 | 30,5 | 27,8 | 28,7 | 27,8 | 15,5 | ||
| 38,1 | 19,6 | 34,3 | 20,7 | 48,7 | 11,5 | 32,5 | 35,2 | 30,7 | |
| 16,8 | 32,2 | 43,8 | 16,8 | 18,3 | 57,1 | 2,9 | 41,6 | 18,2 | |
| 28,8 | 29,7 | 35,5 | 23,9 | 20,2 | 23,8 | 42,5 | 15,3 | ||
| 47,1 | 14,7 | 45,9 | 54,3 | 14,2 | 50,7 | 15,9 | 32,9 | 22,5 | |
| 50,1 | 15,9 | 29,3 | 21,9 | 60,8 | 27,2 | 58,6 | 9,3 | 35,6 | 22,7 |
| 30,2 | 54,2 | 14,2 | 21,4 | 19,8 | 40,1 | 17,4 | 17,3 | ||
| 36,9 | 23,2 | 59,8 | 6,1 | 38,4 | 34,4 | 23,4 | 31,4 | 30,2 | |
| 36,6 | 7,9 | 32,2 | 22,3 | 46,8 | 20,5 | 53,7 | 12,4 | 28,2 | |
| 15,4 | 6,1 | 23,8 | 18,3 | 42,1 | 28,5 | 33,7 | 19,8 | ||
| 31,2 | 24,2 | 37,9 | 32,6 | 20,2 | 27,6 | 18,5 | |||
| 16,2 | 25,2 | 51,2 | 14,2 | 30,6 | 21,5 | 23,5 | 14,6 | 36,8 | 10,7 |
| 49,7 | 15,9 | 32,2 | 20,4 | 24,5 | 32,9 | 25,8 | 45,5 | 14,8 | |
| 49,7 | 19,5 | 30,9 | 20,7 | 57,6 | 20,3 | 14,4 | 18,6 | 15,3 | |
| 42,3 | 19,7 | 41,5 | 10,8 | 41,9 | 14,6 | 42,3 | 23,5 | 25,8 | 27,4 |
| 35,7 | 11,9 | 41,2 | 9,8 | 34,1 | 26,3 | 58,8 | 9,2 | 39,2 | 17,5 |
Найти эмпирическое распределение признака Х, построить графическое отображение распределения.