Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.

Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.

Если прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂, то угол j между ними вычисляется по формуле:

tgj= (2.10)

Условие параллельности прямых l₁ и l₂ имеет вид

k₁=k₂ (2.11)

а условие их перпендикулярности

k₁= (2.12)

(или k₁k₂=-1).

Если прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0,то величина j угла между ними вычисляется по формуле:

tgj=ê ê, (2.13)

условие их параллельности

= (или A₁B₂-A₂B₁=0, (2.14)

Условие их перпендикулярности

A₁A₂-B₁B₂=0. (2.15)

Для нахождения общих точек прямых l₁ и l₂ необходимо решить систему уравнений

или (2.16)

При этом:

Если ¹ , то имеется единственная точка пересечения прямых;

Если = ¹ - прямые l₁ и l₂ не имеют общей точки, т.е. параллельны;

Если = = – прямые имеют бесконечное множество общих точек, т.е. совпадают.

_=> Расcтаянием d от точки М₀(x₀;y₀) до прямой Ax+By+C=0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние d определяется по формуле: d=ê ê (2.17)

Расстояние от точки М₀(x₀;y₀) до прямой xcosa+ysina-p=0 вычисляется по формуле d=ê x₀cosa+y₀sina-pê (2.18)

4.2.52. Найти угол между прямыми:

1) y=2x-3 и y= x+5;

2) 2x-3y+10=0 и 5x-y+4=0;

3) y= x-2 и 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 и y=5x-2.

Решение:

1) Воспользуемся формулой (2.10). Подставляя в неё значения k₁=2 и k₂= , находим tgj=ê ê= = , j=arctg(j»37°);

2) Подставим значения А1=2, В1=-3, А2=5, В2=-1 в формулу (2.13): tgj=ê ê=ê ê=1, j= ;

3) Здесь k₁= , найдём k₂. Для этого перейдём от 6y=-8x-5к эквивалентному равенству y= - x - . Здесь k₂= . Так как k₁×k₂=-,то данные прямые (см.(2.12)) перпендикулярны. (По формуле (2.10) получаем tgj=ê ê=ê ê=¥, j= .)

4) K₁=5,k₂=5, tgj=0, j=0.

4.2.57. Через точку пересечения прямых 3x-2y+5=0, x+2y-9=0проведена прямая, параллельная прямой 2x+y+6=0. Составить её уравнение.

Решение: найдём сначала точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений:

Отсюда 4x=4. И далее, x=1, y=4, т.е. М(1;4). Угловой коэффициент прямой 2x+y-6=0 есть k₁=-2. Следовательно, угловой коэффициент kпрямой параллельной данной, есть k=-2 (см.(2.11)). По направлению прямой (k=-2) и точке М(1;4), ей принадлежащей, запишем уравнение искомой прямой: y—2(x-1), т.е.2x+y-6=0.

4.2.62. Найти координаты точки М_2, симметричной точке М₁(-3;4) относительно прямой 4x-y-1=0.

Решение: точки М₁ и М₂ лежат на прямой М₁М₂, перпендикулярной прямой 4x-y-1=0, и одинаково удалены от (см.рис.30, прямая l). Найдём уравнение прямой М₁М₂. Так как угловой коэффициент k₁ данной прямой равен 4,то угловой коэффициент k прямой М₁М₂ определяется равенствами k=- = - . Поэтому уравнение прямой М₁М₂ есть y-4=- (x+3),т.е. x+4y-13=0. Найдём координаты точки М- точка пересечения прямой М₁М₂ и данной прямой:

Отсюда x=1, y=3, т.е. М(1;3). Точка М(1;3) делит отрезок М₁М₂ пополам. Из соотношений 1= и 3= находим координаты x и y искомой точки М₂ : x=5, y=2 и М₂(5;2).

4.2.67. Написать уравнение прямой l₂, проходящей через точку А(0;2) под углом к прямой l₁:x-2y+3=0.

Решение: угловой коэффициент прямой l₂ равен , т.е. k₁= . Обозначим через k угловой коэффициент прямой l₂. Тогда по формуле (2.10) имеем tg =1= . Из этого уравнения находим k2=3 и k3=- . Задача имеет два решения. Для каждого случая напишем уравнения прямой, проходящей через точку А в заданном уравнении: y-2=3(x-0) и y-2= - (x-0), т.е. 3x-y+2=0 и x+3y-6=0.

4.2.68. Найти расстояние между параллельными прямыми 3x+4y-20=0 и 6x+8y+5=0.

Решение: возьмём на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например,x=0, тогда y=5, т.е. А(0;5). По формуле (2.17) находим расстояние d от точки А до второй прямой:

D=ê ê= =4,5.