Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l_k(x):

Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .

Построим:

Обратим внимание, что .

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

где m₁+m₂+…+m_s=m, deg r(x)<m.

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .

Если в (**) положить , получим:

Для того, чтобы найти a_k3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент a_ki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d₂(x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

Þ функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

Þ .

Умножим (*) на :

Вычислим g, взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

ЧТД.

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Þ f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f’(1)=1

f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25

Простые матрицы.

Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , k_i – алгебраическая кратность корня .

Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению - подпространство, , где r – ранг матрицы .

Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность .

DF. Размерность называется геометрической кратностью собственного значения .

В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF. Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …,x_n таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и .

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n и существует n линейно независимых собственных векторов y₁, y₂,…,y_n, где x₁, x₂, …, x_nтакие, что , (1); y₁, y₂,…,y_nтакие, что (2), .

Запишем равенство (1) в виде (3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).

DF. Множества векторов x₁, x₂, …, x_nи y₁, y₂,…,y_n удовлетворяющие условию , т.е. называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x₁, x₂, …, x_nи y₁, y₂,…,y_n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .