Приведение произвольного уравнения кривой второго порядка

Глава X. Кривые 2-го порядка на плоскости.

Определение 1. Кривой второго порядка на плоскости называется линия, определяемая в заданной аффинной системе координат уравнением вида

а₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃ =0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ отличен от нуля.

Определение 2. В аффинной системе координат на плоскости
точкой называется любая пара чисел (x,y), где x ∈ℂ, y ∈ℂ.

При этом, если x ∈ℝ и y ∈ℝ, точка (x,y) называется действительной точкой плоскости, а если x ∉ℝ или y ∉ℝ, то мнимой точкой плоскости.

Замечание 1. Некоторым уравнениям, указанным в определении 1, могут удовлетворять лишь мнимые точки плоскости, некоторым – как действительные так и мнимые. На чертеже действительные точки изображаются, а мнимые – нет.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка существует такая декартова прямоугольная система координат , что в этой системе кривая имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

Кривая	Каноническое уравнение	Количество действительных точек
Эллипс	,	Бесконечное множество
Мнимый эллипс		Нет
Две мнимые пересекающиеся прямые		Одна, (0,0)
Гипербола		Бесконечное множество
Две пересекающиеся прямые		Бесконечное множество
Парабола		Бесконечное множество
Две параллельные прямые		Бесконечное множество
Две мнимые параллельные прямые		Нет
Две совпадающие прямые		Бесконечное множество

В этих уравнениях — положительные действительные параметры.

Далее рассмотрим некоторые частные случаи кривых второго порядка на плоскости.

Окружность.

Определение 3. Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки М ₀, называемой центром на расстояние R, называемое радиусом.

M₀

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат {

} M₀= (x₀,y₀) – центр окружности γ.

1) - радиусу окружности, т.е. .

;

(1) – уравнение окружности с центром M₀= ( x₀,y₀ ) и радиусом R.

2) Обратно, если числа x,y удовлетворяют (1), то для точки выполняется . Таким образом (1) является уравнением окружности γ.

Эллипс.

F ₂(с,0)

M (x,y)

F ₁(- с,0)

Пусть на плоскости заданы две точки F ₁ и F ₂, расстояние между которыми равно 2 с.

Определение 4. Эллипсом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F ₁ и F ₂ есть величина постоянная, большая, чем расстояние между F ₁ и F ₂.

Точки F ₁ и F ₂ называются фокусами эллипса.

Таким образом, если γ – эллипс, то

(2).

Причем 2 a >2 c, то есть а > c.

Выберем систему координат такую что Ox проходит через F ₁ и F ₂, проходит через середину отрезка F ₁ F ₂. Тогда F ₁(-c,0), F ₂(c,0).

1. Пусть - произвольная точка эллипса

так как .

Возведем в квадрат обе части последнего равенства: ; ; |: (–4);

>0. Снова возводя в квадрат обе части, получим:

;

|: ;

. Обозначим .

(3) – каноническое уравнение эллипса.

2. Обратно покажем, что если числа x ₁, y ₁ удовлетворяют (3), то точка M ₁(x ₁ ,y ₁) принадлежит эллипсу, то есть выполняется (2) .

Из выразим

Тогда

. Что и требовалось доказать. При этом для выражений под знаком модуля справедливо:

Значит, если , то из и не превысит а. Поэтому и первый модуль нужно раскрывать со знаком «плюс».

Из 1. и 2. ⇒ Уравнение (3) является уравнением эллипса в выбранной системе координат.

F ₂

F ₁

-a

-b

-c

Заметим, что в другой системе координат уравнение эллипса имеет более сложный вид.

a – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса.

Фокальное расстояние эллипса .

Эксцентриситет эллипса – число .

Директрисы эллипса – две прямые, параллельные малой оси, отстоящие от нее на расстоянии , то есть прямые .

Геометрический смысл директрисы: отношения расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету ε, т.е .

Гипербола.

F ₂(с,0)

M (x,y)

F ₁(- с,0)

Пусть на плоскости заданы две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2с.

Определение 5. Гиперболой называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между точками F₁ и F₂.

Точки F₁ и F₂ называются фокусами гиперболы.

Таким образом, если γ –гипербола, то

⇔ (4),

причем .

Выберем прямоугольную систему координат такую что Ox проходит через F₁ и F₂, проходит через середину F ₁ F ₂. Тогда .

1. Пусть произвольная точка гиперболы, то есть выполняется (4).

(4) .

Так как , то обозначим .

Таким образом получим

(5) – каноническое уравнение гиперболы.

2. Обратно, покажем, что если числа x₁ и y₁ удовлетворяют уравнению (5), то точка M₁ (x₁,y₁) принадлежит гиперболе, то есть выполняется (4) для M₁

(5) (6)

Аналогично .

(6) Заметим также, что .

При так как .

Из и следует и

выполняется (4)

При из и следует и

выполняется (4)

Таким образом 1.,2. ⇒ уравнение (5) является уравнением гиперболы.

F ₂(с,0)

F ₁(- с,0)

-a

-b

а – действительная полуось гиперболы;

b – мнимая полуось гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы – число

Асимптоты гиперболы – прямые

Директрисы гиперболы – прямые , их геометрический смысл определяется аналогично директрисам эллипса:

отношения расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету ε.

Парабола.

Пусть на плоскости дана точка F и прямая l. F ∉ l. Расстояние d (F, l) =p.

Определение 6. Параболой называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F и данной прямой l. При этом F называется фокусом параболы, l – директрисой.

Таким образом, если γ –парабола, то

M Îg⇔ MF = d (M, l)= MK (7),