Пусть задана СЛАУ, в которой число уравнений равно числу неизвестных:
(2)
Рассмотрим матрицу А из коэффициентов при неизвестных (матрицу системы), матрицу-столбец X из неизвестных величин и матрицу-столбец, составленную из свободных членов системы:
, 
, 
.
Тогда левую часть системы (2) можно записать в виде произведения матриц A·X, а правую – в виде матрицы B. Следовательно, исходная система запишется в эквивалентной ей матричной форме:
(3)
Равнозначность записей (2) и (3) легко проверяется с помощью операции умножения матриц (проверьте!).
Таким образом, решить СЛАУ (2) значит найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению (3).
Если определитель матрицы системы det A ≠ 0, то матрица A имеет обратную матрицу 
.
Обратной для матрицы А называется такая матрица , которая удовлетворяет условию:
,
где Е – единичная матрица, т.е. матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю).
Умножим обе части матричного уравнения (3) слева на матрицу , получим:
.
Так как 
, а по свойству единичной матрицы 
, то
(4)
Нетрудно проверить, что матрица X, определяемая формулой (4), является решением уравнения (3), и это решение единственно.
Формулу (4) называют матричной записью решения системы линейных уравнений. Чтобы воспользоваться формулой (4), необходимо сначала найти обратную матрицу .
Рассмотрим
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Первый шаг. Вычислить определитель матрицы системы.
Если det A≠0, то 
существует.
Второй шаг. Построить матрицу 
, состоящую из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A:
,
где 
,
– минор элемента 
, для всех i, j =1, 2, …, n.
Третий шаг. Транспонировать матрицу , то есть построить присоединенную матрицу 
:
Четвертый шаг. Разделить каждый элемент присоединенной матрицы 
на величину определителя det A.
Таким образом, получена обратная матрица по формуле:
.
Для отыскания решения СЛАУ (1) теперь необходимо вернуться к уравнению (4) и перемножить найденную матрицу и матрицу-столбец B.
Пример 2.1. Решить матричным способом систему линейных уравнений:
Решение. Найдем предварительно обратную матрицу системы 
.
1. 
, следовательно, существует.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Строим матрицу, , состоящую из алгебраических дополнений:
.
3. Транспонированием матрицы 
получаем присоединенную матрицу:
.
4. Определяем матрицу :
= 
.
Решение системы находим по формуле (4):
= 
.
Ответ: 
.
Пример 2.2. Решить матричным способом систему линейных уравнений:
.
Решение будем искать, в соответствии с формулой (3), в виде:
.
Запишем матрицы:
,
где А – матрица коэффициентов при неизвестных;
Х – матрица-столбец неизвестных х1, х2, х3;
B – матрица-столбец из свободных членов.
1°. Определитель матрицы А
,
следовательно, обратная матрица для матрицы А существует. Построим ее.
2°. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Запишем матрицу 
, состоящую из алгебраических дополнений:
.
3°. Транспонируем матрицу и получаем присоединенную матрицу:
.
4°. Строим обратную матрицу: = 
.
Подставив в уравнение (3) соответствующие матрицы, имеем
,
откуда х 1=2, х 2=4, х 3= – 1.
Проверка.
Все уравнения системы обратились в тождества.
Ответ: 
.
Пример 2.3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Решение.
1°. Запишем определитель матрицы A и вычислим его:
.
Так как определитель не равен нулю, то матрица А имеет обратную. Найдем обратную матрицу.
2°. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Составим матрицу из алгебраических дополнений:
.
3°. Транспонируем матрицу и получим присоединенную матрицу:
.
4°. Строим обратную матрицу: 
= 
.
Найдем решение системы:
= 
= 
.
Таким образом, решением системы является тройка чисел: х 1=4, х 2=2, х 3=1.
Проверка.
Все уравнения системы обратились в тождества.
Ответ: х 1=4, х 2=2, х 3=1.
Примеры для самостоятельного решения (под контролем преподавателя).
Решить системы линейных алгебраических уравнений матричным способом:
Пример 2.4. 
.
Решение.
1°. Определитель матрицы системы:
,
следовательно, обратной матрицы не существует.
Проанализируем систему уравнений. Умножим второе уравнение на 
и вычтем его из третьего. Получим: 
, что невозможно, то есть второе и третье уравнения противоречивы.
Ответ: система несовместна.
Пример 2.5. 
.
Решение.
1°. Определитель матрицы A:
.
Определитель не равен нулю, матрица А имеет обратную.
2°. Алгебраические дополнения элементов матрицы А:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
3°. Запишем присоединенную матрицу:
.
4°. Обратная матрица: = 
.
Решение системы:
.
Проверка
.Все уравнения системы обратились в тождества.
Ответ: 
.
Задание на самоподготовку:
1. Решить системы линейных уравнений с помощью определителей:
а) 
; б) 
; в) 
.
Ответы:
а) 
;
б) 
;
в) Решений нет (
).
2. Решить системы линейных уравнений матричным способом:
а) 
б) 
Ответы: а) 
; б) 
.