Интегрирование тригонометрических функций

Необходимые понятия

Интеграл вида , где некоторая рациональная функция переменных и , можно свести к интегралу от рациональной функций с помощью подстановки:

Тогда .

Эта подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Поскольку универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям, то в частных случаях удобнее пользоваться следующими подстановками:

если , то ;

если , то или .

Пример 1. Найти .

►

■

Пример 2. Найти .

►

, где ■

Задачи

1 Найти интегралы от тригонометрических функций, выполнив необходимое преобразование подынтегрального выражения.

1.1 a) ; б)

1.2 а) ; б)

1.3 а) ; б)

1.4 а) ; б)

1.5 а) ; б)

1.6 а) ; б)

1.7 а) ; б)

1.8 а) ; б)

1.9 а) ; б)

1.10 а) ; б)

2 Найти интегралы от тригонометрических функций, выбрав необходимую подстановку.

2.1 а) ; б) ; в) ; г)

2.2 а) ; б) ; в) ; г)

2.3 а) ; б) ; в) ; г)

2.4 а) ; б) ; в) ; г)

2.5 а) ; б) ; в) ; г)

2.6 а) ; б) ; в) ; г)

2.7 а) ; б) ; в) ; г)

2.8 а) ; б) ; в) ; г)

2.9 а) ; б) ; в) ; г)

2.10 а) ; б) ; в) ; г)

3 Найти данные интегралы с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

3.1 а) ; б)

3.2 а) ; б)

3.3 а) ; б)

3.4 а) ; б)

3.5 а) ; б)

3.6 а) ; б)

3.7 а) ; б)

3.8 а) ; б)

3.9 а) ; б)

3.10 а) ; б)

Определенные интегралы

Тема 1

Определение интеграла Римана

Необходимые понятия и определения

Пусть функция определена на отрезке . Разбиением Т отрезка называется множество точек , таких, что .

Обозначим – i-тый частичный отрезок разбиения, – длину этого отрезка.

Величину назовем мелкостью разбиения Т. Возьмем на каждом отрезке разбиения произвольную точку . Получим разбиение с отмеченными точками.

Сумма называется интегральной суммой для функции при заданном разбиении Т и фиксированных отмеченных точках .

Определение. Число I называется определенным интегралом от функции по отрезку , если для такое, что для любого разбиения Т, мелкость которого меньше , и при любом выборе отмеченных точек выполняется неравенство:

Обозначается определенный интеграл .

Данное определение интеграла означает, что число I является пределом интегральных сумм при мелкости разбиения , стремящейся к нулю, т. е. , причем этот предел не зависит от выбора отмеченных точек .

Если для функции существует число I, то функцию называют интегрируемой (по Риману) на отрезке , и говорят, что существует интеграл от функции на отрезке .

Пример. Вычислить интеграл как предел интегральных сумм, разбивая отрезок интегрирования на n равных частей и выбирая отмеченные точки в серединах отрезков интегрирования.

► Так как длина отрезка интегрирования равна 7, то .

Тогда .

Найдем координаты середин отрезков разбиения:

Составим интегральную сумму и вычислим её:

Заметим, что подынтегральная функция является интегрируемой (как непрерывная функция), а значит, величина интеграла не зависит ни от способа разбиения отрезка интегрирования, ни от выбора отмеченных точек. Значит, ■