1. Основные понятия о числовых рядах и определения.
Числовой последовательностью называется упорядоченный набор нумерованных чисел 
, представляющая собой функцию
, 
(1)
заданную на множестве натуральных чисел. Числа 
называются соответственно первым, вторым и так далее членами последовательности. Число 
, задаваемое формулой (1), называется общим членом последовательности.
В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента
,
представляющая собой произведение первых 
натуральных чисел. Обозначение 
читается как «эн факториал».
Пусть u1, u2, u3,…, un,…, где un = f(n), - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение
| (2) |
называется числовым рядом.
Числа 
называются членами ряда. При этом
 ,
|
называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула для . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.
Сумму первых членов ряда по n -ный включительно обозначают Sn и называют n -ной частичной суммой ряда, т.е.
|
Сумму остальных слагаемых, начиная с 
- го, называют n-ным остатком числового ряда и обозначают 
, т.е.
|
Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как самостоятельный числовой ряд.
Предел последовательности 
частичных сумм при 
, если он существует, называется суммой ряда и обозначается буквой S, т.е.
 .
|
Если 
существует, т.е. если сумма S есть конечное число, то говорят, что ряд (2) сходится. В противном случае говорят, что ряд (2) расходится.
Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:
 .
|
Его частичная сумма:
 .
|
При этом если 
, то геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и геометрический ряд имеет конечную сумму
 .
|
В случаях, когда 
, геометрический ряд расходится, т.е. конечной суммы не имеет.
2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
Свойство 1.
Если сходится ряд
 ,
| (3) |
то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов. Наоборот, если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.
В частном случае, когда речь идет об отбрасывании первых членов ряда, свойство можно сформулировать так: если сходится ряд (3), то сходится и ряд
 ,
|
и наоборот (m – конечное число первых отброшенных членов).
В более широком смысле данное свойство можно сформулировать следующим образом: отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
Свойство 2.
Если сходится ряд
|
|
и его сумма равна 
, то сходится и ряд
,
где a – некоторое число, и сумма его равна 
.
Свойство 3.
Если сходятся ряды
и 
,
и их суммы равны соответственно и 
, то сходится и ряд
,
и сумма его равна 
.
Необходимый признак сходимости.
Если ряд
сходится, то его общий член 
при стремится к нулю, т.е.
.
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительным называется такой числовой ряд, все члены которого положительны.
Первый признак сравнения(признак сравнения в непредельной форме).
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(4)
и
, (5)
причем каждый член ряда (4) не превосходит соответствующего члена ряда (5), т.е.
, 
. (6)
Тогда если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4); если расходится ряд (4), то расходится и ряд (5).
Этот признак справедлив и для случая, когда условие (6) начинает выполняться не при 
, а с любого значения номера .
Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме).
Пусть для рядов (4) и (5) существует предел
.
Тогда если 
, то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся; если 
и ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если же
и ряд (5) расходится, то расходится и ряд (4).
Ряды, сходимость или расходимость которых полезно запомнить для применения признаков сравнения.
Гармонический ряд: 
; этот ряд расходится.
Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле): 
; этот ряд расходится при 
и сходится при 
. Рассмотренный выше гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при 
.
Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
существует предел отношения последующего члена к предыдущему
,
то этот ряд сходится при 
и расходится при 
.
При 
возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по признаку Даламбера не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.
Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами
существует предел
,
то этот ряд сходится, если , и расходится, если .
При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по радикальному признаку Коши не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.
Интегральный признак Коши.
Ряд с положительными членами
, (7)
где 
, и 
- непрерывная монотонно убывающая при 
функция, сходится, если сходится несобственный интеграл
. (8)
Если же интеграл (8) расходится, то расходится и ряд (7).
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены, причем количества и тех и других бесконечны.
Знакопеременный ряд
, (9)
сходится, если сходится ряд, составленный и модулей его членов:
. (10)
При этом говорят, что ряд (9) сходится абсолютно. Если же ряд (10) расходится, то ряд (9) может как сходиться, так и расходиться. В случае его сходимости говорят, что он сходится неабсолютно, или условно.
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются. Если считать все числа положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:
, (11)
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.
Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:
1) 
;
2) 
.
Следствия из теоремы Лейбница:
1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме (11), положительна и меньше его первого члена:
; (12)
2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток
по модулю меньше своего первого члена: 
.
6. Функциональные ряды.
Функциональным называется ряд, члены которого суть функции переменной 
:
, (13)
Функция
называется частичной суммой ряда (13). Предел частичной суммы при 
, если он существует как функция аргумента 
, называется суммой функционального ряда:
.
При этом говорят, что ряд (13) сходится. Значение 
, при котором ряд (13) сходится, т.е. сходится числовой ряд 
, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество значений аргумента , при которых функции 
определены, и ряд 
сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Функция
называется остатком функционального ряда.
7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, (14)
где a, A0, A1, A2, …, An, … - действительные числа.Частный случай степенного ряда при 
:
.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при , то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству
. (15)
Если же ряд (14) расходится при , то он расходится и при любом x, удовлетворяющем неравенству
. (16)
Поясним формулировку теоремы Абеля. После несложных преобразований условия (15) и (16) можно соответственно записать в виде
,
.
Отсюда следует, что число 
в окрестности точки a образует симметричный относительно нее интервал. При этом если ряд сходится при , то гарантирована его сходимость и внутри интервала. Если же он расходится при , то он обязательно расходится и во всех точках вне интервала. Таким образом, теорема Абеля фактически устанавливает существование симметричного относительно точки 
интервала абсолютной сходимости степенного ряда. Половина его длины обозначается R и называется радиусом сходимости, а точка - центром сходимости.
Радиус сходимости R может принимать значения от 0 до 
, т.е. 
. Интервал абсолютной сходимости может быть записан в виде 
. Сходимость ряда в точках 
и 
должна быть исследована особо, и в случае ее установления соответствующая граница добавляется к интервалу, образуя область сходимости.
Применив к степенному ряду признак сходимости Даламбера, для радиуса сходимости можно получить формулу
. (17)
Эта формула справедлива только в тех случаях, когда ряд содержит все целые степени разности 
, т.е. не имеет нулевых коэффициентов.
Если же для анализа сходимости степенного ряда применить радикальный признак Коши, то получится формула
.
Теорема. Любой степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать; при этом его радиус сходимости сохраняется, а сумма ряда также интегрируется или дифференцируется.
8. Ряды Тейлора и Маклорена.
Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд
 .
| (18) |
При этом говорят, что ряд Тейлора построен для 
в точке 
.
Остаток ряда Тейлора может быть записан в форме Лагранжа:
 ,  .
|
Если функция бесконечно дифференцируема в некоторой области 
и при этом в этой области выполняется условие
 , 
|
то ряд (17) в данной области сходится к функции , т.е. справедливо равенство
 .
|
Частный случай ряда Тейлора при 
называется рядом Маклорена. Остаток ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид:
 , ,
|
а разложение функции в ряд Маклорена, при условии 
, выглядит следующим образом:
 .
|
Если 
, то ряд Тейлора (Маклорена), даже если он сходится, имеет сумму, отличную от .
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, представленные ниже вместе с их областями сходимости, полезно запомнить для их применения при разложении других, более сложных функций.
.
.
.
.
Последний ряд называется биномиальным, т.к. функция, для которой построен этот ряд, представляет собой бином (двучлен) произвольной степени 
. Гарантированная область сходимости биномиального ряда указана для любых значений ; для некоторых значений она может быть расширена в ту или другую сторону (или в обе) включением в нее границы интервала.
Частные случаи биномиального ряда выглядят следующим образом:
.
.
Из первого частного случая могут быть получены ряды еще для двух часто встречающихся в практических задачах функций:
;
.
9. Применение степенных рядов для вычисления функций и определенных интегралов.
Для вычисления значения функции при данном значении аргумента можно воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд. В частности, удобно воспользоваться приведенными в предыдущем пункте разложениями в ряд Маклорена функций 
. 
Если значение аргумента 
принадлежит области сходимости, то после разложения функции в ряд и подстановки 
искомое значение функции представляет собой сумму числового ряда. Поскольку полную сумму ряда, представляющую собой точное значение функции, найти, как правило, затруднительно, то в этом ряде сохраняется такое количество первых членов, которое гарантирует необходимую в данном конкретном случае точность. Точность вычислений задается обычно одной значащей цифрой в каком-либо разряде. Так, запись 
означает, что точное значение величины находится в пределах от 5,39 до 5,43. Это можно записать следующим образом: 
. Другими словами, заданная точность 
- это та погрешность, в пределах которой приближенное значение может отличаться от точного.
Для приближенного вычисления определенного интеграла нужно разложить в степенной ряд подынтегральную функцию, проинтегрировать степенной ряд почленно и сохранить в ряде достаточное для обеспечения заданной точности количество его первых членов; при этом область интегрирования не должна выходить за рамки области сходимости ряда.
10. Ряды Фурье.
Функциональный ряд вида
(19)
называется тригонометрическим рядом.
Если коэффициенты 
и 
вычислены по формулам
, 
, 
, (20)
то тригонометрический ряд (19) представляет собой ряд Фурье для функции , заданной на отрезке 
.
Теорема Дирихле. Если - кусочно гладкая на отрезке функция, то ее ряд Фурье сходится к функции во всех точках, где она непрерывна. В точках разрыва 
ряд сходится к значению 
, а на концах интервала – к значению 
.
В силу теоремы Дирихле для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом 
в точках непрерывности справедливо равенство:
,
где коэффициенты 
и 
вычисляются по формулам (20).
Для четной функции, заданной на отрезке или для четной с периодом с периодом коэффициенты при нечетных членах ряда Фурье оказываются нулевыми, и ряд принимает вид
,
где
; 
.
Аналогично для нечетных функций:
; 
.
Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке 
и для периодической функции с периодом 
:
,
где
, 
, 
.
Здесь для четных функций:
, где 
, 
;
для нечетных функций:
, где 
.
Если требуется представить рядом Фурье функцию, заданную на отрезке 
, то ее формально можно доопределить четным или нечетным образом в промежутке 
и применить приведенные выше формулы.
Решение примерного варианта
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.
а) 
.
К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:
; ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
б) 
.
Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:
.
Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом 
, про который известно, что он расходится:
.
Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.
Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:
;
, т.е. для любых выполняется условие 
.
Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.
.
Здесь центр сходимости 
. Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера:
.
Так как при 
функции 
и являются эквивалентными бесконечно малыми, то при эквивалентны бесконечно малые 
и 
, а также 
и 
. Поэтому
.
По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:
.
Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.
· 
.
Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.
, и ряд 
расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия 
и 
, т.к. - возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т. 
сходится условно. 
· 
.
Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд 
расходится.
Ответ: область сходимости данного степенного ряда: 
.
Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного
ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
.
Требуется разложить функцию по степеням двучлена 
. Обозначим его новой переменной: 
. Тогда 
, и 
. Последнее выражение представим в виде 
и введем еще одну переменную: 
. После этого 
. Теперь для функции 
применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):
.
В последнем разложении возвратимся к переменной 
и далее к исходной переменной :
.
Найдем теперь область сходимости. Для переменной 
ее составляет интервал 
, т.е. 
. Тогда 
и 
. Отсюда получаем, что 
.
Ответ: 
, 
.
Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью
значение функции при данном значении аргумента
с помощью разложения функции в степенной ряд.
при 
.
По условию задачи требуется вычислить 
с точностью до четвертого знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции 
:
.
Подставим сюда заданное значение 
:
, 
0, 1, 2, …. (а)
Здесь в правой части при вычислении нужно учесть такое количество первых членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности: 
. При этом ряд в правой части (а) получился знакочередующимся, и для него модуль остатка меньше первого члена этого остатка: . Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие
. (б)
Поскольку
,
то условие (б) принимает вид
, или 
.
Методом подбора легко убедиться, что последнее условие начинает выполняться с номера 
:
,
.
Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:
.
Ответ: 
.
Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью
определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд.
.
Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:
.
Заменим в этой формуле на 
:
.
Пересчитаем область сходимости:
.
Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:
,
0, 1, 2, …
Полученный ряд оказался знакочередующимся. Поэтому используем то же самое условие обеспечения заданной точности, что и в предыдущей задаче:
. (а)
Здесь
,
поэтому минимально необходимое находим из условия
, или 
:
,
.
Из последнего вытекает, что для обеспечения заданной точности достаточно просуммировать первые шесть членов ряда:
.
Ответ: 
.
Задача 6. Данную функцию разложить в ряд Фурьев
заданном интервале.
, (-1, 1).
Легко убедиться, что в заданном интервале функция непрерывна и, следовательно, может быть представлена своим рядом Фурье в смысле теоремы Дирихле. Кроме того, в рассматриваемом интервале она четная, поэтому ее ряд Фурье должен содержать только четные тригонометрические функции, т.е. косинусы. На этих основаниях записываем:
, 
. (а)
Находим коэффициенты.
.
.
Т.к. 
, то 
. Тогда
.
Далее, 
,